Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $5$ và có diện tích là $S_1$. Nối bốn trung điểm $A_1;B_1;C_1;D_1$ theo thứ tự của bốn cạnh $AB;BC;CD;DA$ ta được hình vuông thứ hai có diện tích $S_2$. Tiếp tục làm như thế ta được hình vuông $A_2B_2C_2D_2$ có diện tích $S_3$….. Và cứ tiếp tục làm như vậy ta được các hình vuông có diện tích $S_4;S_5;\ldots;S_n;\ldots$. Tính tổng $S=S_1+S_2+S_3+\ldots+S_n+\ldots$.
Xem lời giải
Lời giải
Hình vuông $ABCD$ có diện tích $S_1=5^2$.
Hình vuông $A_1B_1C_1D_1$ có cạnh bằng $\frac5{\sqrt2}\Rightarrow S_2=\frac{5^2}{2}$.
Hình vuông $A_2B_2C_2D_2$ có cạnh bằng $\frac{\frac5{\sqrt2}}{\sqrt2}=\frac5{(\sqrt2)^2}\Rightarrow S_3=\frac{5^2}{2^2}$.
….
Hình vuông $A_{n-1}B_{n-1}C_{n-1}D_{n-1}$ có cạnh bằng $\frac5{(\sqrt2)^{n-1}}\Rightarrow S_n=\frac{5^2}{2^{n-1}}$.
Ta có: $S=\lim_{n\to+\infty}(S_1+S_2+S_3+\ldots+S_n+\ldots)=\lim_{n\to+\infty}(5^2+\frac{5^2}{2}+\frac{5^2}{2^2}+\ldots+\frac{5^2}{2^{n-1}}+\ldots)$. $\Rightarrow S=\lim_{n\to+\infty}(5^2\cdot\frac{1-(\frac12)^n}{1-\frac12})=50$.
