Bài tự luận · Bài 27
Bài tự luận Ôn tập Giới hạn 11 · Bài 27
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao $27$ m. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tổng quãng đường quả bóng di chuyển được kể từ khi thả đến khi dừng hẳn bằng bao nhiêu? (Xem chuyển động của quả bóng là thẳng đứng).
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $r_i$ là quãng đường rơi của quả bóng trong lần rơi thứ $i$.
Ta có: $r_1=27$, $r_2=\frac23\cdot27$, …, $r_n=(\frac23)^{n-1}\cdot27$,…
Suy ra tổng các quãng đường rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ $n$ bằng $27\cdot\frac{1-(\frac23)^n}{1-\frac23}$.
Gọi $t_i$ là quãng đường nảy của quả bóng trong lần nảy thứ $i$.
Ta có: $t_1=\frac23\cdot27$, $t_2=(\frac23)\cdot\frac23\cdot27$, …, $t_n=(\frac23)^{n-1}\cdot\frac23\cdot27$,…
Suy ra tổng các quãng đường nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần nảy thứ $n$ bằng $\frac23\cdot27\cdot\frac{1-(\frac23)^n}{1-\frac23}$.
Suy ra tổng quãng đường quả bóng di chuyển được kể từ khi thả đến khi dừng hẳn bằng $S=\lim_{n\to+\infty}(27\cdot\frac{1-(\frac23)^n}{1-\frac23}+\frac23\cdot27\cdot\frac{1-(\frac23)^n}{1-\frac23})=135$.
Ta có: $r_1=27$, $r_2=\frac23\cdot27$, …, $r_n=(\frac23)^{n-1}\cdot27$,…
Suy ra tổng các quãng đường rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ $n$ bằng $27\cdot\frac{1-(\frac23)^n}{1-\frac23}$.
Gọi $t_i$ là quãng đường nảy của quả bóng trong lần nảy thứ $i$.
Ta có: $t_1=\frac23\cdot27$, $t_2=(\frac23)\cdot\frac23\cdot27$, …, $t_n=(\frac23)^{n-1}\cdot\frac23\cdot27$,…
Suy ra tổng các quãng đường nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần nảy thứ $n$ bằng $\frac23\cdot27\cdot\frac{1-(\frac23)^n}{1-\frac23}$.
Suy ra tổng quãng đường quả bóng di chuyển được kể từ khi thả đến khi dừng hẳn bằng $S=\lim_{n\to+\infty}(27\cdot\frac{1-(\frac23)^n}{1-\frac23}+\frac23\cdot27\cdot\frac{1-(\frac23)^n}{1-\frac23})=135$.