Bài tự luận Cực trị của hàm số · Bài 22

a) Do hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $ \mathbb{R}$ nên hàm số $ y=f(x)$ xác định trên $ \mathbb{R}$.
Căn cứ vào đồ thị hàm số $y=f ^{′} (x)$, ta có: $ f ^{′} (x)=0$ khi $ x=-3,x=0,x=3$. Dựa vào vị trí của đồ thị hàm số $ y=f ^{′} (x)$ so với trục hoành, ta có bảng xét dấu $ f ^{′} (x)$ như sau:

Vậy hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên mỗi khoảng $ (-\infty ;0)$ và $ (3;+\infty )$; nghịch biến trên khoảng $ (0;3)$.
Hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $ x=0$ và đạt cực tiểu tại $ x=3$.
b) Do hàm số $y=f(x)$ xác định trên $ \mathbb{R}$ nên hàm số $ y=g(x)$ cũng xác định trên $ \mathbb{R}$.
Ta có: $g ^{′} (x)=f ^{′} (x)-1;g ^{′} (x)=0$ khi $ f ^{′} (x)=1$. Số nghiệm của phương trình $ g ^{′} (x)=0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $ y=f ^{′} (x)$ với đường thẳng $ y=1$.
Căn cứ vào đồ thị hàm số $y=f ^{′} (x)$ ở Hình, ta có phương trình $ f ^{′} (x)=1$ hay $ g ^{′} (x)=0$ có 4 nghiệm phân biệt. Gọi 4 nghiệm đó theo thứ tự từ bé đến lớn là $ a,b,c,d$.

Dựa vào vị trí của đồ thị hàm số $y=f ^{′} (x)$ so với đường thẳng $ y=1$, ta có bảng xét dấu $ g ^{′} (x)$ như sau:

Vậy hàm số $g(x)=f(x)-x$ có 4 điểm cực trị.