Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $ h\left ( { t } \right ) $ là thể tích nước bơm được sau $ t $ giây. Cho $ h'\left ( { t } \right )=3at ^ { 2 } +bt{ \rm{ } }\left ( { m ^ { 3 } /s } \right ) $ và ban đầu bể không có nước. Sau $ 5 $ giây thì thể tích nước trong bể là $ 150m ^ { 3 } $. Sau $ 10 $ giây thì thể tích nước trong bể là $ 1100m ^ { 3 } $. Hỏi thể tích nước trong bể là bao nhiêu m3 sau khi bơm được $ 20 $ giây.

Ta có: $ h'\left ( { t } \right )=3at ^ { 2 } +bt $ $ ⇒h\left ( { t } \right )=at ^ { 3 } +\frac { 1 } { 2 }bt ^ { 2 } +C $ Chọn $ t=0⇒h\left ( { 0 } \right )=0⇒C=0 ⇒h\left ( { t } \right )=at ^ { 3 } +\frac { 1 } { 2 }bt ^ { 2 } $ Sau $ 5 $ giây thì thể tích nước trong bể là $ 150m ^ { 3 } $: $ h\left ( { 5 } \right )=150⇔125a+\frac { 25 } { 2 }b=150 $ Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là $ 1100m ^ { 3 } $: $ h\left ( { 10 } \right )=1100⇔1000a+50b=1100 $ Ta có hệ: $ \left \{ \begin{array}{l} 125a+\frac { 25 } { 2 }b=150 \\ 1000a+50b=1100 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=2 \end{array} \right. $ $ ⇒h\left ( { t } \right )=t ^ { 3 } +t ^ { 2 } $ Nên thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là $ h\left ( { 20 } \right )=20 ^ { 3 } +20 ^ { 2 } =8400m ^ { 3 } $