(KNTT10) Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là $12$ m, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là $3$ m. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao $2,8$ m thì có chiều rộng không quá $3$ m. Hỏi chiếc xe tải có chiều cao $2,8$ m có thể đi qua hầm được không?
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó $a>b>0$. Do các điểm $B(0;3)$ và $A(6;0)$ thuộc $(E)$ nên thay vào phương trình của $(E)$ ta có $b=3$ và $a=6$. Suy ra phương trình của $(E)$ là $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$.
Với những xe tải có chiều cao $2,8$ m, chiều rộng của xe tải là $3$ m, tương ứng với $x=1,5$. Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao $y$ của điểm $M$ (có hoành độ bằng 1,5 thuộc $(E)$) so với trục $Ox$: $y_M=3\sqrt{1-\frac{x_M^2}{36}}=3\sqrt{1-\frac{1,5^2}{36}}\approx2,905>2,8$.
Kết luận: Ô tô tải có thể đi được qua hầm, tuy nhiên cần khuyến cáo ô tô phải đi vào chính giữa hầm.
