Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 3

Kí hiệu các điểm như hình sau.

Chiều cao của mặt cắt ngang là $h=a\sin(\pi-\alpha)=a\sin\alpha$ (cm).
Đáy lớn của mặt cắt ngang là
$AD=BC+2BH=a+2a\cos(\pi-\alpha)=a-2a\cos\alpha$ (cm).
Diện tích (cm²) của mặt cắt ngang là
$S=\frac{1}{2}(a+a-2a\cos\alpha)a\sin\alpha=a^2(1-\cos\alpha)\sin\alpha=a^2\left(\sin\alpha-\frac{1}{2}\sin2\alpha\right)$.
Xét hàm số $y=\sin\alpha-\frac{1}{2}\sin2\alpha$ trên $\left[\frac{\pi}{2};\pi\right)$.
Ta có: $y'=\cos\alpha-\cos2\alpha$;
$y'=0\Leftrightarrow\cos\alpha-\cos2\alpha=0\Leftrightarrow\cos2\alpha=\cos\alpha\Leftrightarrow 2\alpha=\alpha+2k\pi\lor 2\alpha=-\alpha+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\alpha=2k\pi\lor\alpha=\frac{2k\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}$.
Do $\frac{\pi}{2}\leq\alpha<\pi$ nên phương trình có nghiệm là $\alpha=\frac{2\pi}{3}$.
Ta có $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$; $y\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số $y$ là $\max_{\left[\frac{\pi}{2};\pi\right)}y=y\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}$. Suy ra giá trị lớn nhất của $S$ là $a^2\cdot y\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$.
Vậy diện tích mặt cắt ngang của máng dẫn nước có giá trị lớn nhất là $\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$ khi $\alpha=\frac{2\pi}{3}$.