Bài tập dạng trả lời ngắn.

5 BÀI TOÁN “MỞ RỘNG HÌNH CHỮ NHẬT THÀNH HÌNH TRÒN” (TƯƠNG TỰ DẠNG TÌM CÁCH SẮP XẾP/THIẾT KẾ HÌNH CHỮ NHẬT ĐỂ TỐI ƯU DIỆN TÍCH MỞ RỘNG)

Giới thiệu chung: Những bài dưới đây đều xoay quanh ý tưởng “cho một hình chữ nhật với thông số nào đó (diện tích, chu vi...); người ta muốn bao ngoài bằng một đường tròn (cùng tâm hoặc điều kiện cụ thể), rồi cần tìm hình chữ nhật tối ưu sao cho phần mở rộng (hoặc phần chênh lệch diện tích) là nhỏ nhất / lớn nhất / v.v.” Mỗi bài gồm lời giải chi tiết và đáp số. Có 5 bài, sắp xếp độ khó: 1 dễ, 2 trung bình, 2 khó (dài để suy luận).

---

Bài 1 (Dễ)

Đề bài:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích cố định là \(S=36\,\text{m}^2\). Ta muốn bao quanh mảnh vườn bằng một hình tròn ngoại tiếp (tức là 4 đỉnh hình chữ nhật nằm trên đường tròn). Giả sử tâm của đường tròn trùng với tâm của hình chữ nhật. Tính diện tích phần mở rộng \(\Delta\) (tức \(\text{Diện tích hình tròn} - \text{diện tích chữ nhật}\)) nhỏ nhất có thể, và xác định kích thước hình chữ nhật khi đó.

Lời giải chi tiết

---

Bài 2 (Trung bình – 1)

Đề bài:

Giả sử một hồ cá hình chữ nhật có chu vi cố định \(P=40\) (m), tức \(2(x+y)=40\Rightarrow x+y=20\). Muốn “làm bờ” phía ngoài hồ theo một đường tròn ngoại tiếp hồ (lấy tâm trùng tâm hình chữ nhật). Tính độ dài phần bờ tròn này (chính là chu vi của đường tròn) nhỏ nhất, xác định cấu hình \(x,y\) khi đó.

Lời giải chi tiết

---

Bài 3 (Trung bình – 2)

Đề bài (mô phỏng gần bài gốc):

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích \(S=500\,\text{m}^2\). Muốn mở rộng mảnh đất ra thành một hình tròn ngoại tiếp có cùng tâm với hình chữ nhật, tức 4 đỉnh HCN nằm trên đường tròn. Hỏi phải chọn kích thước (chiều dài \(x\), chiều rộng \(y\)) thế nào để “diện tích mở rộng” (phần mới cộng thêm khi bao phủ hình tròn) là nhỏ nhất? Tính giá trị tối ưu ấy.

Lời giải chi tiết

---

Bài 4 (Khó – 1)

Đề bài:

Một khuôn viên trường có hình chữ nhật chiều dài \(x\), chiều rộng \(y\). Người ta chưa ấn định diện tích hay chu vi, mà có điều kiện riêng: \[ \; 2x + 3y = 600\quad(\text{chẳng hạn}). \] Nay muốn “xây tường bao quanh” theo một vòng tròn ngoại tiếp (tâm trùng tâm hình chữ nhật). Hỏi phải chọn \((x,y)\) (thỏa \(2x+3y=600\)) thế nào để diện tích vòng tròn nhỏ nhất (tức muốn vòng tròn này gọn nhất). Tính diện tích vòng tròn tối ưu.

Lời giải phác thảo

---

Bài 5 (Khó – 2, yêu cầu “dài để suy luận”)

Đề bài:

Một mảnh vườn hình chữ nhật (chưa rõ kích thước) có đường chéo \(d=50\) (m). Người ta muốn “xây tường rào” dạng đường tròn ngoại tiếp, cũng lấy tâm trùng tâm. Để tiết kiệm chi phí, họ giới hạn tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng không vượt quá 1/5 (hoặc 5 lần). Cụ thể: \[ \frac{1}{5} \;\le\; \frac{x}{y} \;\le\;5. \] Hỏi nên chọn \(x,y\) (thỏa \(x^2+y^2=50^2=2500\) và trên) như thế nào để diện tích hình tròn (bằng \(\pi\,\tfrac{(x^2 + y^2)}{4}\)) là nhỏ nhất hay lớn nhất? Tính giá trị ấy (phần “mở rộng” = \(\text{diện tích tròn} - x\,y\) cũng có thể hỏi).

Lời giải gợi ý

---

Tóm tắt 5 bài:

1. Bài 1 (Dễ): Diện tích HCN cố định =36, thêm vòng tròn ngoại tiếp, tìm “mở rộng” ít nhất => kết quả \(\Delta_{\min} = 18\pi -36\).
2. Bài 2 (TB-1): Chu vi HCN =40, tìm chu vi vòng tròn ngoại tiếp nhỏ nhất => HCN vuông 10x10, kết quả \(10\sqrt2\pi.\)
3. Bài 3 (TB-2): Diện tích =500, tương tự bài gốc, \(\Delta_{\min} = 250\pi-500.\)
4. Bài 4 (Khó-1): Ràng buộc dạng tuyến tính (2x+3y=600), muốn vòng tròn bé nhất => tính qua \(\min (x^2+y^2)\) với y=(600-2x)/3. Đạo hàm, x≈92.31, y≈138.46, v.v.
5. Bài 5 (Khó-2): Đường chéo HCN cố định =50, “nhưng tỉ số x/y k bị ép” => ta tìm “phần mở rộng” min/max. Hình tròn vốn bán kính 25 =>diện tích =625π là bất biến, => “mở rộng” =625π - xy. Dãy x/y∈[1/5,5]. Cực đại / cực tiểu của xy tùy cặp (5,1/5) / (1,1).