Bài tập dạng trả lời ngắn.
5 BÀI TOÁN “TÌM ĐIỂM QUAN SÁT (HOẶC VỊ TRÍ) SAO CHO TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN CÁC ĐỐI TƯỢNG LÀ NHỎ NHẤT” – DẠNG BÀI DÀI VÀ SÂU
Ghi chú chung: Tất cả các bài đều xoay quanh việc tìm một điểm (vị trí quan sát) để tối ưu hóa một số tiêu chí hình học: thường là “tổng khoảng cách đến nhiều điểm (hoặc đường) là nhỏ nhất”. Loại bài này thường đòi hỏi lập phương trình tọa độ, hoặc dựng hình, suy luận hình học, rồi dùng các phương pháp giải tích (đạo hàm, v.v.) hay quy tắc hình học (phản xạ, chiếu, v.v.). Dưới đây là 5 bài, sắp xếp từ dễ đến rất khó, kèm lời giải chi tiết và kết quả cuối cùng.
Đề bài:
Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm cố định \[ A(0;0),\quad B(4;0). \] Một điểm di động \(P(x;y)\) chỉ có thể nằm trên trục dọc Oy (tức \(x=0\)). Hãy tìm vị trí của \(P\) trên Oy sao cho \[ PA + PB \] là nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Đề bài:
Trong không gian 3D, cho hai điểm \[ M_1(0;0;10),\quad M_2(6;0;10). \] Trên mặt phẳng \(z=0\) (tức mặt đất), cần tìm một điểm \(P(x;y;0)\) sao cho \[ PM_1 + PM_2 \] là nhỏ nhất. Tính tọa độ \(P\) và giá trị nhỏ nhất.
Đề bài:
Trên mặt phẳng Oxy, giả sử có 3 nhà hàng tại các điểm \[ A(0;0),\; B(10;0),\; C(5;\,8). \] Cần đặt một kiosk (điểm \(P\)) sao cho tổng khoảng cách đến 3 nhà hàng \[ PA + PB + PC \] là nhỏ nhất. Hỏi kiosk nằm ở đâu và tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy là bao nhiêu (làm tròn đến 0.01).
Đề bài:
Trên không gian, có 2 tháp phát sóng T1,T2 đặt tại điểm \[ T1(0;0;50),\quad T2(300;0;80). \] Còn “mặt đất” (z=0) dưới hai tháp ấy. Người ta muốn đặt “trạm điều phối” trên mặt đất, gọi là \(P(x;y;0)\), sao cho \[ PT1 + 2\,PT2 \] là nhỏ nhất (tức muốn trọng số 2 cho khoảng cách đến T2, do tầm quan trọng của T2). Hãy tìm toạ độ \(P\) và giá trị nhỏ nhất (làm tròn đến phần đơn vị).
Đề bài:
Hai quả khinh khí cầu “Balloon1” và “Balloon2” xuất phát cùng gốc O(0;0) trên mặt đất \((z=0)\). Sau một thời gian, Balloon1 ở vị trí 300 m về phía Nam và 100 m về phía Đông, đồng thời “cao 100 m”. Balloon2 ở vị trí 200 m về phía Bắc và 100 m về phía Tây, đồng thời “cao 50 m”. Khi đó, một người đứng quan sát trên mặt đất (tức toạ độ \((x,y,0)\)) nhìn thấy hai khí cầu. Hỏi người ấy nên đứng chỗ nào để tổng khoảng cách tới hai khí cầu nhỏ nhất? Hãy tính (a) toạ độ người đứng, (b) hai khoảng cách ấy, và (c) khoảng cách từ người ấy đến “điểm xuất phát O” của hai khí cầu (kết quả làm tròn hàng đơn vị).
Chúc các bạn ôn tập tốt! 5 bài trên đại diện cho các mức độ khác nhau về “tìm điểm tối ưu tổng khoảng cách”. Bài 5 là ví dụ phức tạp và dài, cần thực hiện giải số (hoặc phân tích hình học nâng cao).