Bài tập dạng trả lời ngắn.
5 BÀI TOÁN CÙNG DẠNG “TỐI ƯU HÓA LỢI NHUẬN” (CỰC TRỊ HÀM SỐ TRONG KINH TẾ)
Đề bài:
Một cửa hàng bán một loại sản phẩm với:
- Doanh thu (Revenue) khi bán \( x \) sản phẩm: \[ R(x) = 50x - x^2 \quad (\text{đơn vị: nghìn đồng}). \]
- Chi phí (Cost) để sản xuất và bán \( x \) sản phẩm: \[ C(x) = 10x + 5. \]
Giả sử \( x \ge 0 \) (không sản xuất số âm) và \( x \) có thể là số thực (để đơn giản). Tìm \( x \) tối ưu để lợi nhuận \[ P(x) = R(x) - C(x) \] là lớn nhất.
Đề bài:
Xét một doanh nghiệp có:
- Doanh thu: \[ R(x) = 200x - 3x^2. \] - Chi phí: \[ C(x) = 50x + 100 + x^2. \] Giả sử doanh nghiệp chỉ có khả năng sản xuất tối đa 60 sản phẩm (tức \( 0 \le x \le 60 \)). Hãy xác định \( x \) tối ưu để lợi nhuận \[ P(x) = R(x) - C(x) \] đạt cực đại.
Đề bài:
Một xưởng dự định sản xuất \( x \) sản phẩm (trong khoảng \( 0 \le x \le 30 \)):
- Doanh thu: \[ R(x) = -2x^3 + 90x^2 + 200x. \]
- Chi phí: \[ C(x) = 50x^2 + 4000. \]
Hãy xác định số \( x \) để lợi nhuận \( P(x) = R(x) - C(x) \) đạt giá trị lớn nhất. Xét cả hai trường hợp \( x \) là số thực và \( x \) là số nguyên.
Đề bài:
Cho hàm doanh thu: \[ R(x) = 0.01x^3 + 500x - 2x^2, \] và chi phí bình quân (average cost) cho mỗi sản phẩm: \[ G(x) = 3x + 100 + \frac{5000}{x}. \] Tổng chi phí khi sản xuất \( x \) sản phẩm: \[ C(x) = x \cdot G(x) = 3x^2 + 100x + 5000. \] Biết rằng xưởng chỉ có khả năng sản xuất tối đa 200 sản phẩm (tức \( 1 \le x \le 200 \)). Hãy tìm \( x \) để tối đa hoá lợi nhuận \[ P(x) = R(x) - C(x). \]
Đề bài:
Một công ty bán sản phẩm với chính sách giá bán thay đổi sau mốc 100 sản phẩm:
Chi phí sản xuất \( x \) sản phẩm: \[ C(x) = 200x. \] Giả sử công ty không sản xuất quá 600 sản phẩm \(\bigl(1 \le x \le 600\bigr)\). Hãy xác định \( x \) để lợi nhuận \( P(x) = R(x) - C(x) \) lớn nhất.
Tóm tắt chung: