Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật như hình với $AB=2\sqrt{2}$ và $BC=2$. Cạnh $SA$ vuông góc với mặt đáy và góc giữa cạnh bên $SC$ với đáy là $60^{\circ}$. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến $(SBD)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$. Do đó $\widehat{(SC, (ABCD))} = \widehat{SCA} = 60^{\circ}$. Khi đó $SA = AC \cdot \tan 60^{\circ}$. $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{8+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. $SA = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$. Trên hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $A(0;0;0)$, $B(2\sqrt{2}; 0; 0)$, $D(0; 2; 0)$, $S(0; 0; 6)$. $C(2\sqrt{2}; 2; 0)$. Phương trình mặt phẳng $(SBD)$ đi qua $B, D, S$: $$ \frac{x}{2\sqrt{2}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 3x + 3\sqrt{2}y + \sqrt{2}z - 6\sqrt{2} = 0 $$ Khoảng cách từ $C(2\sqrt{2}; 2; 0)$ đến $(SBD)$: $$ d(C, (SBD)) = \frac{|3(2\sqrt{2}) + 3\sqrt{2}(2) + \sqrt{2}(0) - 6\sqrt{2}|}{\sqrt{3^2 + (3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}} = \frac{|6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2}|}{\sqrt{9 + 18 + 2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{29}} \approx 1,58 $$