Cho hình lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ có đáy là tam giác đều cạnh $ a $. Hình chiếu vuông góc của điểm $ A' $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ trùng với trọng tâm $ O $ của tam giác $ ABC $. Biết độ dài $ A\,A'=\frac { 2a } { 3 } $.

a) Đúng. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥A'O \\ BC⊥AO \\ A'O∩AO=O \\ A'O⊂\left ( { A'AO } \right ) \\ AO⊂\left ( { A'AO } \right ) \end{array} \right. $ $ ⇒BC⊥\left ( { A'AO } \right ) $ mà $ A\,A'⊂\left ( { A'AO } \right ) $ suy ra $ BC⊥A'A $. b) Sai. Gọi $ K $ là giao điểm của $ AO $ và $ BC $ nên $ K $ là trung điểm $ BC $. Tam giác $ ABC $ đều cạnh $ a $ nên $ AK=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $ và $ AO=\frac { 2 } { 3 }AK=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $. Xét tam giác $ A'AO $ vuông tại $ O $, $ A'O=\sqrt[] { A'A ^ { 2 } -AO ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { \frac { 2a } { 3 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a } { 3 } $. c) Sai. Diện tích tam giác $ ABC $: $ S_{ ΔABC } =\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 } $. Thể tích khối lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ là $ V_{ ABC.A'B'C' } =A'O.S_{ ΔABC } =\frac { a } { 3 }⋅\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 12 } $. d) Sai. Diện tích tam giác $ ABC $: $ S_{ ΔABC } =\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 } $. Diện tích tam giác $ ABK $: $ S_{ ΔABK } =\frac { 1 } { 2 }S_{ ΔABC } =\frac { 1 } { 2 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 8 } $. Thể tích của khối chóp $ K.A'AB $ là $ V_{ K.A'AB } =V_{ A'.ABK } =\frac { 1 } { 3 }A'O.S_{ ΔABK } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 8 }.\frac { a } { 3 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 48 } $.