Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông canh $ a $, $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $. Góc tạo bởi $ SB $ với mặt phẳng đáy là $ 60° $.

a) Đúng. $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} AB⊥SA \\ AB⊥AD \\ \end{array} ⇒AB⊥\left ( { SAD } \right ) \end{array} \right. $. b) Sai vì $ AB⊂\left ( { SAB } \right ) $ mà $ \left ( { BD;AB } \right )=45 ^ { ° } $ c) Sai. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} BO⊥AC \\ BO⊥SA \end{array} \right. $ nên $ BO⊥\left ( { SAC } \right ) $. Vậy hình chiếu của $ B $ trên $ \left ( { SAC } \right ) $ là điểm $ O $. $ ⇒\left ( { SB;\left ( { SAC } \right ) } \right )=\left ( { SB;SO } \right )= \widehat { BSO } $. Góc tạo bởi $ SB $ và $ \left ( { ABCD } \right ) $ là góc $ \widehat { SBA } $ nên ta có trong tam giác $ SAB $ $ SA=AB.\tan60°=a\sqrt[] { 3 } $. Xét tam giác $ SBO $ vuông tại $ O $ có $ SB=\sqrt[] { 3a ^ { 2 } +a ^ { 2 } }=2a;\,OB=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $ Vậy $ \sin \widehat { OSB }=\frac { OB } { SB }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } { 2a }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 4 } $ nên $ \widehat { OSB }≈20,7° $ d) Đúng. Trong tam giác $ SBD $, $ SO $ cắt $ DM $ tại trọng tâm $ I $ nên góc giữa $ \left ( { SAC } \right ) $ và $ DM $ chính là góc giữa $ \left ( { SAC } \right ) $ và $ DI $. Vì $ DO⊥\left ( { SAC } \right ) $ nên góc giữa $ DI $ và $ \left ( { SAC } \right ) $ là góc $ \widehat { DIO } $. Trong tam giác $ DIO $ vuông tại $ O $ có $ OI=\frac { 1 } { 3 }SO=\frac { 1 } { 3 }\sqrt[] { 3a ^ { 2 } +\left ( { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 14 } } { 6 } $. $ \tan \widehat { DIO }=\frac { DO } { OI }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } { \frac { a\sqrt[] { 14 } } { 6 } }=\frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 7 } $.