Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy hình chữ nhật tâm $ O $ với $ AB=a $,$ AD=a\sqrt[] { 3 } $, biết $ SA=SB=SO=a $. Gọi $ α $ là góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { SAC } \right ) $ và $ \left ( { ABCD } \right ) $, Tính$ \tanα $(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $ I $,$ M $ lần lượt là trung điểm của$ AO $và $ AB $, $ H $ là trọng tâm tam giác $ AOB $. Xét tam giác vuông $ ABC $, ta tính được $ AC=2a⇒AO=a=BO $. Nên $ ΔAOB $là tam giác đều. Vì $ SA=SB=SO=a $ nên $ SH⊥\left ( { AOB } \right ) $ hay $ SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $ Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} AO⊥HI \\ AO⊥SH \end{array} \right.⇒AO⊥\left ( { SHI } \right )⇒AO⊥SI⇒AC⊥SI $. Khi đó: $ \widehat { \left ( { \left ( { SAC } \right ),\left ( { ABCD } \right ) } \right ) }= \widehat { \left ( { SI,HI } \right ) }= \widehat { SIH }=α $. Xét trong tam giác vuông $ SHI $, có $ HI=\frac { 1 } { 3 }BI=\frac { 1 } { 3 }.a.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 6 } $. $ SH=\sqrt[] { SB ^ { 2 } -BH ^ { 2 } }=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\left ( { \frac { 2 } { 3 }a.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $$ ⇒tanα=tan \widehat { SIH }=\frac { SH } { IH }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } } { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 6 } }=2\sqrt[] { 2 } $