Cho tứ diện $ OABC $ có $ OA,OB,OC $ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $ \alpha,\beta,\gamma $ tương ứng là các góc tạo bởi các mặt phẳng $ (OAB) $,$ (OBC) $,$ (OCA) $ với mặt phẳng $ (ABC) $. Tính $ \sin ^ { 2 } α+\sin ^ { 2 } β+\sin ^ { 2 } γ $.

Gọi $ H $ là trực tâm của tam giác $ ABC $ (khi đó $ OH\perp\left ( { ABC } \right ) $). Gọi $ D $ là giao điểm của $ CH $ và $ AB $ suy ra $ CH⊥AB $ Tương tự, gọi $ E $ là giao điểm của $ AH $ và $ BC $, $ F $ là giao điểm của $ BH $ và $ CA $ suy ra $ AH⊥BC $, $ BH⊥CA $. $ ⇒α= \widehat { ODH } $. Tương tự $ β=\overset ⌢ { OEH } $, $ γ= \widehat { HFO } $. Xét tam giác $ ODH $vuông tại $ H $ có $ \sin ^ { 2 } α=\frac { OH ^ { 2 } } { OD ^ { 2 } }=OH ^ { 2 } .\left ( { \frac { 1 } { OA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OB ^ { 2 } } } \right ) $ + Tương tự $ \sin ^ { 2 } β=OH ^ { 2 } .\left ( { \frac { 1 } { OB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OC ^ { 2 } } } \right ),\,\,\sin ^ { 2 } γ=OH ^ { 2 } .\left ( { \frac { 1 } { OC ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OA ^ { 2 } } } \right ) $. Từ đó suy ra: $ \sin ^ { 2 } α+\sin ^ { 2 } β+\sin ^ { 2 } γ=2OH ^ { 2 } .\left ( { \frac { 1 } { OA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OC ^ { 2 } } } \right )=2 $. (vì $ \frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OC ^ { 2 } } $)