Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp (ABCD)$, đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, cạnh $a$, $AC = a$, $SA = \frac{a}{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$. Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng $(MAC)$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Lời giải Gọi $N, P$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $OA$. Vì $AC \perp NP$ nên $AC \perp MP$ (định lý ba đường vuông góc). Nên $\widehat{\Big((MAC), (ABCD)\Big)} = \widehat{MPN}$. Mặt khác: $$ NP = \frac{OD}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4} $$ $$ MN = \frac{SA}{2} = \frac{a}{4} $$ Xét tam giác vuông $MNP$ có: $$ MP = \sqrt{MN^{2} + NP^{2}} = \frac{a}{2} $$ Vậy: $$ \sin\widehat{\Big((MAC), (ABCD)\Big)} = \sin\widehat{MPN} = \frac{MN}{MP} = \frac{1}{2} = 0,5 $$