Giả sử tỷ lệ sinh của Tỉnh $ A $ tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $ f\left ( { t } \right )=\frac { 200 } { 1+4e ^ { -t } };t\geq 0 $, trong đó thời gian $ t $ được tính bằng tháng. Khi đó đạo hàm $ f'\left ( { t } \right ) $ sẽ biểu thị tốc độ tăng dân số của tỉnh $ A $. Hỏi sau bao nhiêu tháng tốc độ tăng trưởng của dân số tỉnh $ A $ là lớn nhất?

Ta có $ f\left ( { t } \right )=\frac { 200 } { 1+4e ^ { -t } }=\frac { 200e ^ { t } } { e ^ { t } +4 } $ Khi đó $ f'\left ( { t } \right )=\frac { 800e ^ { t } } { \left ( { e ^ { t } +4 } \right ) ^ { 2 } } $ $ ⇒f''\left ( { t } \right )=\frac { 800e ^ { t } \left ( { 4-e ^ { t } } \right ) } { \left ( { e ^ { t } +4 } \right ) ^ { 3 } } $. Khi đó $ f''\left ( { t } \right )=0⇔t=\ln4 $. Dựa vào bảng biến thiên Vậy tốc độ tăng trưởng của dân số tỉnh $ A $ lớn nhất là $ f'\left ( { \ln4 } \right )=\frac { 800e ^ { \ln4 } } { \left ( { e ^ { \ln4 } +4 } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 800.4 } { 16 ^ { 2 } }=\frac { 25 } { 2 } $ tại thời điểm $ t=\ln4≈1,39 $