Cho hình chóp $SABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $I$ cạnh $a$ và có góc $A$ bằng $60^\circ$, cạnh $SC = \frac{a\sqrt{6}}{2}$ và $SC \perp \left(ABCD\right)$. Trong tam giác $SAC$ kẻ $IK \perp SA$ tại $K$.

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Lời giải a) $SC \perp \left(ABCD\right)$ mà $SC \subset \left(SAC\right)$ suy ra $\left(SAC\right) \perp \left(ABCD\right)$. b) Ta có: $$ \begin{cases} BD \perp AC \\ BD \perp SC \end{cases} \Rightarrow BD \perp \left(SAC\right) $$ Mà $BD \subset \left(SBD\right)$ suy ra $\left(SBD\right) \perp \left(SAC\right)$. c) $\Delta ABD$ đều nên $BD = AD = AB = a$. Suy ra $AI = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AC = 2AI = a\sqrt{3}$. Xét $\Delta SAC$ vuông tại $C$, kẻ đường cao $CH'$ (tạm gọi $H'$ để tính toán, thay vì dùng $CH$ như đề cũ): $$ \frac{1}{CH'^2} = \frac{1}{SC^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{\frac{6a^2}{4}} + \frac{1}{3a^2} = \frac{2}{3a^2} + \frac{1}{3a^2} = \frac{1}{a^2} \Rightarrow CH' = a $$ Vì $IK$ là đường trung bình trong $\Delta SAC$ (kẻ từ $I$ song song với $CH'$), nên $IK = \frac{1}{2}CH' = \frac{a}{2}$. d) $BD \perp \left(SAC\right) \Rightarrow BD \perp SA$. Ta có: $$ \begin{cases} SA \perp BD \\ SA \perp IK \end{cases} \Rightarrow SA \perp \left(KBD\right) \Rightarrow \begin{cases} SA \perp BK \\ SA \perp DK \end{cases} $$ Suy ra góc giữa $\left(SAB\right)$ và $\left(SAD\right)$ là $\widehat{BKD}$. Trong $\Delta BKD$ cân tại $K$ (do $BK=DK$), vì $IK = ID = IB = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}BD$, nên $\Delta BKD$ vuông tại $K$. Do đó $\widehat{BKD} = 90^\circ$. Vậy $\left(SAB\right) \perp \left(SAD\right)$.