Cho hình lập phương $ ABCD⋅A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } D ^ { ′ } $ có cạnh bằng $ a $. Tính số đo (đơn vị độ) góc giữa $ \left ( { BA ^ { ′ } C } \right ) $ và $ \left ( { DA ^ { ′ } C } \right ) $

+ Kẻ $ BH⊥A ^ { ′ } C,\left ( { H∈A ^ { ′ } C } \right )(1) $. + Mặt khác, ta có: $ BD⊥AC $ (gt), $ AA ^ { ′ } ⊥(ABCD) $ $ ⇒AA ^ { ′ } ⊥BD⇒BD⊥\left ( { ACA ^ { ′ } } \right )⇒BD⊥A ^ { ′ } C $ (2). Từ (1) và (2) suy ra: $ A ^ { ′ } C⊥(BDH)⇒A ^ { ′ } C⊥DH $. + Xét tam giác vuông $ BCA' $ có: $ \frac { 1 } { BH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { BC ^ { 2 } }+\frac { 1 } { BA ^ { ′2 } }=\frac { 3 } { 2a ^ { 2 } } ⇒BH=a⋅\sqrt[] { \frac { 2 } { 3 } }⇒DH=a⋅\sqrt[] { \frac { 2 } { 3 } } $ + Ta có: $ \cos \widehat { BHD }=\frac { 2⋅BH ^ { 2 } -BD ^ { 2 } } { 2BH ^ { 2 } }=-\frac { 1 } { 2 }⇒ \widehat { BHD }=120 ^ { ° } $. Do đó, $ \left ( { \left ( { BA ^ { ′ } C } \right ),\left ( { DA ^ { ′ } C } \right ) } \right )=180 ^ { 0 } - \widehat { BHD }=60 ^ { 0 } . $ Vậy $ \left ( { \left ( { BA ^ { ′ } C } \right ),\left ( { DA ^ { ′ } C } \right ) } \right )=60 ^ { ° } $.