Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, biết $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$, $\left(AB'C, ABC\right) = 60^\circ$. Khi đó các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Lời giải a) Ta có $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên $AA' \perp \left(ABC\right)$. Mà $AA' \subset \left(AA'B'B\right)$ suy ra $\left(AA'B'B\right) \perp \left(ABC\right)$. b) Ta có: $$ \begin{cases} AC \perp AB \\ AC \perp BB' \end{cases} \Rightarrow AC \perp \left(AA'B'B\right) $$ Mà $AC \subset \left(AB'C\right)$ suy ra $\left(AB'C\right) \perp \left(AA'B'B\right)$. c) Ta có $AC \perp \left(AA'B'B\right) \Rightarrow AC \perp AB'$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(AB'C\right)$ và $\left(ABC\right)$ là góc giữa hai đường thẳng $AB'$ và $AB$, tức là $\widehat{B'AB} = 60^\circ$. Trong $\Delta B'AB$ vuông tại $B$, ta có: $$ \tan\widehat{B'AB} = \frac{BB'}{AB} \Rightarrow \frac{BB'}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow BB' = a\sqrt{3} $$ Suy ra $AA' = a\sqrt{3}$. d) Trong $\Delta B'AB$ vuông tại $B$, ta có: $$ AB' = \sqrt{AB^2 + BB'^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a $$ Tam giác $AB'C$ vuông tại $A$ nên: $$ S_{\Delta AB'C} = \frac{1}{2}AC \cdot AB' = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{3} \cdot 2a = a^2\sqrt{3} $$