Một cuộc thi có $36$ bộ câu hỏi, trong đó có $16$ bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên và $20$ bộ câu hỏi về chủ đề xã hội. Bạn Hạnh lấy ngẫu nhiên $1$ bộ câu hỏi (lấy không hoàn lại), sau đó bạn Phúc lấy ngẫu nhiên $1$ bộ câu hỏi. Xác suất bạn Phúc lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên bằng $\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị $100a - 99b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải Xét các biến cố: $A$: "Bạn Hạnh lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội"; $B$: "Bạn Phúc lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên". Ta có $P(A) = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$, $P(\bar{A}) = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$. Nếu bạn Hạnh chọn được bộ xã hội ($A$), còn lại 35 bộ, trong đó 16 bộ tự nhiên. Vậy $P(B|A) = \frac{16}{35}$. Nếu bạn Hạnh chọn được bộ tự nhiên ($\bar{A}$), còn lại 35 bộ, trong đó 15 bộ tự nhiên. Vậy $P(B|\bar{A}) = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$. Theo công thức xác suất toàn phần: $$ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\bar{A}) \cdot P(B|\bar{A}) = \frac{20}{36} \cdot \frac{16}{35} + \frac{16}{36} \cdot \frac{15}{35} = \frac{320 + 240}{1260} = \frac{560}{1260} = \frac{4}{9} $$ Vậy $a = 4, b = 9$. Giá trị $100a - 99b = 100(4) - 99(9) = 400 - 891 = -491$.