Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn là $80\%$. Trước khi xuất ra thị trường, mỗi bóng đèn đều được kiểm tra chất lượng. Tỉ lệ công nhận một bóng đèn đạt tiêu chuẩn là $0,9$ và tỉ lệ loại bỏ một bóng hỏng là $0,95$. Hãy tính tỉ lệ bóng đạt tiêu chuẩn sau khi qua khâu kiểm tra chất lượng.

Lời giải Gọi $A$ là biến cố bóng được công nhận đạt tiêu chuẩn. Gọi $B$ là biến cố bóng thực sự đạt tiêu chuẩn. Ta có: $P(B) = 0,8 \Rightarrow P(\bar{B}) = 0,2$. $P(A|B) = 0,9$ (Tỉ lệ công nhận bóng tốt). $P(\bar{A}|\bar{B}) = 0,95 \Rightarrow P(A|\bar{B}) = 1 - 0,95 = 0,05$ (Tỉ lệ sai sót khi kiểm tra bóng hỏng). Áp dụng công thức xác suất toàn phần: $$ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\bar{B})P(\bar{B}) $$ $$ P(A) = 0,9 \cdot 0,8 + 0,05 \cdot 0,2 = 0,72 + 0,01 = 0,73 $$ Tỉ lệ bóng đạt tiêu chuẩn sau khâu kiểm tra là tỉ lệ bóng thực sự đạt tiêu chuẩn trong số các bóng được công nhận, tức là xác suất có điều kiện $P(B|A)$: $$ P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} = \frac{0,9 \cdot 0,8}{0,73} = \frac{0,72}{0,73} = \frac{72}{73} \approx 0,986 $$