Số nghiệm của phương trình $(x+3)\sqrt{2x^2 + 1} = x^2 + x + 3$ là

Phương trình xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ vì $2x^2 + 1 > 0$. Ta thấy $x = -3$ không phải là nghiệm của phương trình. Xét $x \ne -3$, phương trình tương đương với: $\sqrt{2x^2 + 1} = \frac{x^2 + x + 3}{x+3}$ $\Leftrightarrow \sqrt{2x^2 + 1} - 1 = \frac{x^2 + x + 3}{x+3} - 1$ $\Leftrightarrow \sqrt{2x^2 + 1} - 1 = \frac{x^2}{x+3}$ Trục căn thức ở vế trái, ta được: $\frac{2x^2}{\sqrt{2x^2 + 1} + 1} = \frac{x^2}{x+3}$ $\Leftrightarrow x^2 \left( \frac{2}{\sqrt{2x^2 + 1} + 1} - \frac{1}{x+3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ 2(x+3) = \sqrt{2x^2 + 1} + 1 \quad (*) \end{array}\right.$ Giải phương trình $(*)$: $2x + 6 = \sqrt{2x^2 + 1} + 1 \Leftrightarrow \sqrt{2x^2 + 1} = 2x + 5$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 2x + 5 \ge 0 \\ 2x^2 + 1 = (2x + 5)^2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \ge -\frac{5}{2} \\ 2x^2 + 1 = 4x^2 + 20x + 25 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \ge -\frac{5}{2} \\ 2x^2 + 20x + 24 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \ge -\frac{5}{2} \\ x^2 + 10x + 12 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \ge -\frac{5}{2} \\ \left[\begin{array}{l} x = -5 + \sqrt{13} \\ x = -5 - \sqrt{13} \end{array}\right. \end{array}\right. \Leftrightarrow x = -5 + \sqrt{13}$ (vì $-5 - \sqrt{13} < -\frac{5}{2}$, không thỏa mãn điều kiện). Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 0$ và $x = -5 + \sqrt{13}$.