Cho đa giác đều $20$ đỉnh. Lấy ngẫu nhiên $4$ đỉnh của tứ giác. Tính xác suất để $4$ đỉnh lấy được tạo thành tứ giác có hai góc ở hai đỉnh kề chung một cạnh đáy của tứ giác là $2$ góc tù
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $n(\Omega)=C_{20}^{4}$.
Gọi $A$ là biến cố: “Tứ giác có hai góc ở hai đỉnh kề chung một cạnh đáy của tứ giác là $2$ góc tù”
Nhận xét:
Do tứ giác nội tiếp nên không thể xảy ra trường hợp hai góc đối diện là hai góc tù
Do đó tứ giác nội tiếp chỉ xảy ra hai trường hợp là:
+ Tứ giác có $2$ góc đối diện là $2$ góc vuông (trường hợp này tứ giác không có hai góc ở hai đỉnh kề chung một cạnh đáy của tứ giác là $2$ góc tù).
+ Tứ giác có $2$ góc đối diện là $1$ góc nhọn và $1$ góc tù (trường hợp này tứ giác luôn có hai góc ở hai đỉnh kề chung một cạnh đáy của tứ giác là $2$ góc tù).
Ta đi xét các trường hợp có hai góc đối diện là góc vuông
$\Rightarrow$ Có đường kính của đường tròn là một đường chéo của một tứ giác, giả sử $A_1A_{11}$
$\Rightarrow$ Mỗi nửa đường tròn sẽ có $9$ tam giác vuông
$\Rightarrow$ Mỗi đường chéo sẽ có $9\cdot9=81$ tứ giác
Mà có $10$ đường chéo và do các hình chữ nhật thì có $2$ đường chéo đi qua tâm của đường tròn nên số tứ giác có $2$ góc đối đều vuông là $10\cdot81-C_{10}^{2}$.
Vậy xác suất biến cố $A$ là: $P(A)=\frac{C_{20}^{4}-(10\cdot81-C_{10}^{2})}{C_{20}^{4}}=\frac{16}{19}$.
