Bài tập nâng cao · Bài 86
Dạng 3. Xác suất liên quan hình học, đại số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 86
Cho một bảng hình chữ nhật kích thước $12\times11$ gồm $132$ ô vuông đơn vị. Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật được tạo bởi các ô vuông đơn vị của bảng. Xác suất để hình được chọn là hình vuông bằng
Xem lời giải
Lời giải
Hình chữ nhật $12\times11$ gồm $13$ đường dọc và $12$ đường ngang.
Số cách chọn ra một hình chữ nhật: $n(\Omega)=C_{13}^{2}\cdot C_{12}^{2}$.
Gọi $A$ là biến cố hình chữ nhật được chọn là hình vuông
Chọn hai đường thẳng $a,b$ từ $13$ đường thẳng đứng
Chọn hai đường thẳng $c,d$ từ 12 đường thẳng ngang
Hình chữ nhật là hình vuông khi $b-a=d-c$ trong đó $a\in[1;12],b\in[2;13],c\in[1;11],d\in[2;12]$
TH1: Hình vuông $1\times1$ có $12\cdot11$ hình vuông
TH2: Hình vuông $2\times2$ có $b-a=d-c=2\Rightarrow$ có $11\cdot10$ hình vuông
…
TH11: Hình vuông $11\times11$ có $2\cdot1$ hình vuông
$\Rightarrow n(A)=\sum\limits_{x=2}^{12}x(x-1)$
$P(A)=\frac{572}{C_{13}^{2}\cdot C_{12}^{2}}=\frac19$.
Số cách chọn ra một hình chữ nhật: $n(\Omega)=C_{13}^{2}\cdot C_{12}^{2}$.
Gọi $A$ là biến cố hình chữ nhật được chọn là hình vuông
Chọn hai đường thẳng $a,b$ từ $13$ đường thẳng đứng
Chọn hai đường thẳng $c,d$ từ 12 đường thẳng ngang
Hình chữ nhật là hình vuông khi $b-a=d-c$ trong đó $a\in[1;12],b\in[2;13],c\in[1;11],d\in[2;12]$
TH1: Hình vuông $1\times1$ có $12\cdot11$ hình vuông
TH2: Hình vuông $2\times2$ có $b-a=d-c=2\Rightarrow$ có $11\cdot10$ hình vuông
…
TH11: Hình vuông $11\times11$ có $2\cdot1$ hình vuông
$\Rightarrow n(A)=\sum\limits_{x=2}^{12}x(x-1)$
$P(A)=\frac{572}{C_{13}^{2}\cdot C_{12}^{2}}=\frac19$.