Bài tập nâng cao · Bài 84
Dạng 3. Xác suất liên quan hình học, đại số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 84
Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi độc lập. Mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả lời trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, câu trả lời sai được 0 điểm. Học sinh A làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 50 câu hỏi. Biết xác suất làm đúng $k$ câu của học sinh A đạt giá trị lớn nhất. Khi đó giá trị lớn nhất của $k$ là:
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $k$ là số câu trả lời đúng, $k=0,\ldots,50$.
Suy ra xác suất $P_k=C_{50}^{k}\left(\frac14\right)^k\left(\frac34\right)^{50-k}$.
Ta có: $P_{k+1}>P_k\Leftrightarrow C_{50}^{k+1}\left(\frac14\right)^{k+1}\left(\frac34\right)^{50-k-1}>C_{50}^{k}\left(\frac14\right)^k\left(\frac34\right)^{50-k}\Leftrightarrow C_{50}^{k+1}\cdot\frac14>C_{50}^{k}\cdot\frac34$
$\Leftrightarrow C_{50}^{k+1}>3C_{50}^{k}\Leftrightarrow\frac{50!}{(k+1)!(50-k-1)!}>\frac{3\cdot50!}{k!(50-k)!}$
$\Leftrightarrow\frac1{k+1}>\frac3{50-k}\Leftrightarrow50-k>3k+3\Leftrightarrow k<11,75\Rightarrow k\leq11$.
Tương tự: $P_{k+1}<P_k\Leftrightarrow k\geq12$.
Suy ra: $P_0<P_1<P_2<\ldots<P_{11}<P_{12}>P_{13}>\ldots>P_{50}$.
Suy ra xác suất làm đúng 12 câu là lớn nhất.
Suy ra xác suất $P_k=C_{50}^{k}\left(\frac14\right)^k\left(\frac34\right)^{50-k}$.
Ta có: $P_{k+1}>P_k\Leftrightarrow C_{50}^{k+1}\left(\frac14\right)^{k+1}\left(\frac34\right)^{50-k-1}>C_{50}^{k}\left(\frac14\right)^k\left(\frac34\right)^{50-k}\Leftrightarrow C_{50}^{k+1}\cdot\frac14>C_{50}^{k}\cdot\frac34$
$\Leftrightarrow C_{50}^{k+1}>3C_{50}^{k}\Leftrightarrow\frac{50!}{(k+1)!(50-k-1)!}>\frac{3\cdot50!}{k!(50-k)!}$
$\Leftrightarrow\frac1{k+1}>\frac3{50-k}\Leftrightarrow50-k>3k+3\Leftrightarrow k<11,75\Rightarrow k\leq11$.
Tương tự: $P_{k+1}<P_k\Leftrightarrow k\geq12$.
Suy ra: $P_0<P_1<P_2<\ldots<P_{11}<P_{12}>P_{13}>\ldots>P_{50}$.
Suy ra xác suất làm đúng 12 câu là lớn nhất.