Như hình vẽ, có một tờ giấy hình chữ nhật $ ABCD $ với các độ dài $ AB=9,AD=4 $. Trên đoạn $ AB $, lấy điểm $ E $ sao cho $ AE=4 $, và trên đoạn $ DC $, lấy điểm $ F $ sao cho $ DF=5 $. Nối hai điểm $ E $ và $ F $, rồi gấp tờ giấy theo đường $ EF $, sao cho hai nửa mặt phẳng $ AEFD $ và $ EBCF $ hợp với nhau một góc $ 60° $. Gọi $ B′ $ là chân đường vuông góc hạ từ điểm $ B $ (sau khi gấp) xuống mặt phẳng $ AEFD $, và $ H $ là chân đường vuông góc từ $ B′ $ xuống đoạn $ AD $. Tính giá trị của $ 17B′H $.

Trong hình 2. Kẻ $ BG⊥EF $ tại $ G $ Suy ra $ EF⊥(BB′G)⇒EF⊥B′G $ tại $ G $ mà $ BG⊥EF $ suy ra tại hình 1, ta có 3 điểm $ B′,G,B $ thẳng hàng. Tại hình 1, ta kẻ $ BG $ cắt $ AD $ tại $ I $. Kẻ $ EK⊥DC $ tại $ K $, suy ra $ EF=\sqrt[] { 1 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } }=\sqrt[] { 17 } $ Ta có: $ S_{ ΔBEF } =S_{ EBCK } -S_{ ΔEFK } -S_{ ΔBFC } =5.4-\frac { 1 } { 2 }.4.1-\frac { 1 } { 2 }.4.4=10⇔\frac { 1 } { 2 }BG.EF=10⇔BG=\frac { 20 } { \sqrt[] { 17 } } $ Ta có $ \widehat { BGB′ }=60°⇒B′G=\frac { 10 } { \sqrt[] { 17 } } $ suy ra $ BB′=\frac { 30 } { \sqrt[] { 17 } } $ Gọi $ J $ là hình chiếu vuông góc của $ B′ $ lên $ AE $, ta dễ chứng minh được góc $ \widehat { KFE }= \widehat { BB′J }⇒\sin \widehat { KFE }=\sin \widehat { BB′J }=\frac { EK } { EF }=\frac { 4 } { \sqrt[] { 17 } } $ Ta có:$ B′H=AJ=AB-BJ=9-BJ=9-\sin \widehat { BB′J }.BB′=9-\frac { 4 } { \sqrt[] { 17 } }.\frac { 30 } { \sqrt[] { 17 } }=\frac { 33 } { 17 } $ Vậy $ 17B′H=33 $