(Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình 2025) Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh bằng $ 3 $,$ SA\perp\left ( { ABCD } \right ) $, số đo của góc nhị diện $ \left[ S,BC,A \right] $ bằng $ 30° $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng$ SC $ và $ BD $ bằng $ \frac { 3\sqrt[] { 14 } } { n } $. Giá trị của $ n $ bằng bao nhiêu?

Ta có $ SA\perp\left ( { ABCD } \right )\Rightarrow SA\perp BC $; $ ABCD $ là hình vuông $ \Rightarrow AB\perp BC $. Suy ra $ SB\perp BC $. Từ đó ta có $ \widehat { SBA } $ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $ \left[ S,BC,A \right] $. Theo bài ra thì $ \widehat { SBA }=30° $. Xét tam giác $ SAB $ vuông tại $ A $ ta có: $ SA=AB\cdot \tan \widehat { SBA }=3\cdot \tan30°=\sqrt[] { 3 } $. Chọn hệ trục toạ độ $ Oxyz $ sao cho $ A\equiv O=\left ( { 0\,;\,0\,;\,0 } \right ) $; $ B\left ( { 3\,;\,0\,;\,0 } \right ) $; $ D\left ( { 0\,;\,3\,;\,0 } \right ) $; $ S\left ( { 0\,;\,0\,;\,\sqrt[] { 3 } } \right ) $; $ C\left ( { 3\,;\,3\,;\,0 } \right ) $. Khi đó $ \overset\rightarrow { BD }=\left ( { -3\,;\,3\,;\,0 } \right )\,;\overset\rightarrow { SC }=\left ( { 3\,;\,3\,;\,-\sqrt[] { 3 } } \right )\,;\overset\rightarrow { SD }=\left ( { 0\,;\,3\,;\,-\sqrt[] { 3 } } \right ) $. Suy ra $ \left[ \overset\rightarrow { BD },\overset\rightarrow { SC } \right]=\left ( { -3\sqrt[] { 3 }\,;\,-3\sqrt[] { 3 }\,;\,-18 } \right ) $. Ta có $ d\left ( { BD,SC } \right )=\frac { \left | { \left[ \overset\rightarrow { BD },\overset\rightarrow { SC } \right]\cdot\overset\rightarrow { SD } } \right | } { \left | { \left[ \overset\rightarrow { BD },\overset\rightarrow { SC } \right] } \right | }=\frac { \left | { -9\sqrt[] { 3 }+18\sqrt[] { 3 } } \right | } { \sqrt[] { \left ( { 3\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 3\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } +18 ^ { 2 } } }=\frac { 3\sqrt[] { 14 } } { 14 } $. Do $ d\left ( { BD,SC } \right )=\frac { 3\sqrt[] { 14 } } { n }=\frac { 3\sqrt[] { 14 } } { 14 } $ nên $ n=14 $.