(Cụm trường Nguyễn Hiền - Lê Hồng Phong - Quảng Nam 2025) Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang với $ AB=2a $, $ AD=DC=CB=a $ và $ SA $ vuông góc với mặt phẳng đáy $ SA=3a $(tham khảo hình vẽ). Gọi $ M $ là trung điểm của $ AB $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SB $ và $ DM $ bằng $ \frac { xa } { y } $ (với $ \frac { x } { y } $ tối giản). Tính $ 3x+2y? $

Ta có $ DM//BC $ nên suy ra $ DM//\left ( { SBC } \right ) $ Suy ra $ { \rm{ d } }\left ( { DM,SB } \right )={ \rm{ d } }\left ( { DM,\left ( { SBC } \right ) } \right )={ \rm{ d } }\left ( { M,\left ( { SBC } \right ) } \right ) =\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ d } }\left ( { A,\left ( { SBC } \right ) } \right ) $. Xét tam giác $ ΔACB $, có $ AM=MB=MC=\frac { 1 } { 2 }AB $ nên suy ra $ ΔACB $ vuông tại $ C $. Do đó $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} SA\perp BC \\ AC\perp BC \\ \end{array} \end{array} \right.\Rightarrow BC\perp\left ( { SAC } \right ) $ Lại có $ BC\subset\left ( { SBC } \right ) $ nên suy ra $ \left ( { SBC } \right )\perp\left ( { SAC } \right ) $ theo giao tuyến $ SC $. Kẻ $ AH\perp{ \rm{ S } }C \Rightarrow AH=d\left ( { A,\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { SA\cdot AC } { \sqrt[] { SA ^ { 2 } +AC ^ { 2 } } }=\frac { 3a } { 2 } $. Do đó $ { \rm{ d } }\left ( { DM,SB } \right )=\frac { 1 } { 2 }AH=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 3a } { 2 }=\frac { 3a } { 4 } $. Suy ra $ x=3,\,y=4 $ (phân số tối giản). Vậy $ 3x+2y=3.3+2.4=17 $.