(THPT Nông Cống 3 - Thanh Hóa 2025) Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật tâm $ O,\,AB=2,\,\,BC=2\sqrt[] { 3 }. $ Tam giác $ OAS $ cân tại $ S, $ mặt phẳng $ \left ( { SAD } \right ) $ vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ), $góc giữa $ SD $ và $ \left ( { ABCD } \right ) $ bằng $ 60° $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SB $ và $ AC $?

Kẻ $ SH\perp AD\Rightarrow SH\perp\left ( { ABCD } \right ) $ Gọi $ O $ là giao điểm của hai đường chéo, $ I $ là trung điểm của $ AO $ $ AB=2;\,BC=2\sqrt[] { 3 }\Rightarrow AC=4\Rightarrow AO=BO=2 $ $ \Rightarrow ΔABO $ là tam giác đều $ \Rightarrow BI\perp AO $ (1) Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} SI\perp AO \\ SH\perp AO \\ \end{array} \end{array} \right.\Rightarrow \left ( { SHI } \right )\perp AO\Rightarrow AO\perp HI\,\,\left ( { 2 } \right ) $ Từ (1) và (2) $ \Rightarrow H,I,B $ thẳng hàng $ \Rightarrow AO\perp HB $ Lại có $ AO\perp SH\Rightarrow \left ( { SHB } \right ) $ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $ AO $ $ \Rightarrow \left ( { SHB } \right )\perp AC, $ từ $ I, $ kẻ $ IK\perp SB \Rightarrow IK $ là đoạn vuông góc chung của $ AC $ và $ SB $ Ta có $ BI=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }.2=\sqrt[] { 3 },\,\, \widehat { SDH }=60°,\,\, \widehat { ABH }=30° $ ( do tam giác $ AOB $ đều) $ \tan\,30°=\frac { AH } { AB }⇒AH=AB.\tan\,30°=\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 3 }⇒DH=\frac { 4\sqrt[] { 3 } } { 3 } $ $ \tan\,60°=\frac { SH } { DH }⇒SH=DH.\tan\,60°=4 $, $ BH=\sqrt[] { AH ^ { 2 } +AB ^ { 2 } }=\frac { 4\sqrt[] { 3 } } { 3 };\,\,SB=\sqrt[] { SH ^ { 2 } +BH ^ { 2 } }=\frac { 8\sqrt[] { 3 } } { 3 } $ Xét $ ΔBKI\sim ΔBHS, $ ta có $ \frac { BI } { BS }=\frac { KI } { SH }⇒KI=\frac { BI.SH } { BS }=\frac { 3 } { 2 }. $