Cho chóp $ S.ABC $có đáy$ ABC $là tam giác vuông tại$ A,\,M $là trung điểm của$ BC $, hình chiếu vuông góc của$ S $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ trùng với trung điểm của $ AM $. Cho biết $ AB=2,AC=2\sqrt[] { 3 } $ và mặt phẳng$ \left ( { SAB } \right ) $ tạo với mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ một góc$ 60° $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SA $ và $ BC $.

Gọi $ H $là trung điểm của $ AM $và $ N,K $lần lượt là chân đương vuông góc hạ từ $ M,H $ xuống cạnh $ AB $ Ta có: $ SH⊥\left ( { ABC } \right ) $, $ MN=\frac { AC } { 2 }=\sqrt[] { 3 } $ và $ HK=\frac { MN } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $ $ \left \{ \begin{array}{l} SH⊥AB \\ HK⊥AB \end{array} \right.⇒AB⊥\left ( { SHK } \right ) $ và $ \left ( { SHK } \right )∩\left ( { SAB } \right )=SK;\left ( { SHK } \right )∩\left ( { ABC } \right )=HK $ do đó góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right )\,,\left ( { SAB } \right ) $ là $ \widehat { SKH }=60° $ $ SH=KH.\tan \widehat { SKH }=\frac { 3 } { 2 } $ Qua $ A $ kẻ đường thẳng $ a $ song song $ BC $. Goi mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ chứa đường thẳng $ a $và $ SA $ Ta có$ d\left ( { SA;BC } \right )=d\left ( { BC,\left ( { P } \right ) } \right )=d\left ( { M,\left ( { P } \right ) } \right ) $ $ 2d\left ( { H,a } \right )=d\left ( { M,a } \right )=d\left ( { A,BC } \right )=\sqrt[] { 3 }⇒d\left ( { H,a } \right )=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $ $ d\left ( { M,\left ( { P } \right ) } \right )=2d\left ( { H,\left ( { P } \right ) } \right )=2\frac { \left ( { d\left ( { H,a } \right ) } \right ).SH } { \sqrt[] { \left ( { d\left ( { H,a } \right ) } \right ) ^ { 2 } +SH ^ { 2 } } }=\frac { 3 } { 2 } $ Vậy $ d\left ( { SA,BC } \right )=\frac { 3 } { 2 }=1,5 $