Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh bằng 2. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ AD $. Biết hai mặt phẳng $ \left ( { SDM } \right ) $ và $ \left ( { SCN } \right ) $ cùng vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $, đồng thời khoảng cách giữa $ DM $ và $ SC $ bằng $ \frac { 12 } { 7 } $. Thể tích khối chóp $ S.ABCD $ bằng bao nhiêu?

Gọi $ H=DM∩CN $. Theo bài ra ta có $ SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $. Do $ ΔADM=ΔCDN\left ( { { \rm{ c.g.c } } } \right ) $ nên $ \widehat { AMD }= \widehat { DNC } $. $ \widehat { HDN }+ \widehat { DNH }= \widehat { HDN }+ \widehat { AMD }=90° $( Do tam giác $ ADM $ vuông tại $ A $). Nên $ HD⊥CN $. Ta có $ DM⊥SH,DM⊥CN⇒DM⊥\left ( { SCN } \right ) $. Trong mặt phẳng $ \left ( { SCN } \right ) $, kẻ $ KH⊥SC $. Do $ \left \{ \begin{array}{l} DM⊥\left ( { SCN } \right ) \\ KH\in \left ( { SCN } \right ) \end{array} \right.⇒KH⊥DM $. Nên $ KH $ là đường vuông góc chung của $ DM $ và $ SC $. Khi đó $ d\left ( { SC,MD } \right )=HK=\frac { 12 } { 7 } $. Ta có tam giác $ CDN $ vuông tại $ D $ nên $ CN=\sqrt[] { CD ^ { 2 } +DN ^ { 2 } }=\sqrt[] { 4+1 }=\sqrt[] { 5 } $. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ CDN $có: $ CD ^ { 2 } =CN.CH⇒CH=\frac { 4 } { \sqrt[] { 5 } } $. Trong tam giác vuông $ SHC $ có: $ \frac { 1 } { HK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { CH ^ { 2 } }⇒\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }=\frac { 49 } { 144 }-\frac { 5 } { 16 }=\frac { 1 } { 36 }⇒SH=6 $. $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.SH.S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.6.2 ^ { 2 } =8. $