(Sở Thừa Thiên Huế 2025) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông có cạnh bằng $4\sqrt{2}$, các cạnh bên bằng nhau và cùng bằng $2\sqrt{6}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC$.

Lời giải Gọi $O = AC \cap BD$. Vì $S.ABCD$ là chóp đều nên $SO \perp (ABCD)$. Ta có $AD \parallel BC \Rightarrow AD \parallel (SBC)$. $$ d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) $$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, dựng $OH \perp SM$ ($H \in SM$). Dễ thấy $OH \perp BC$ (vì $BC \perp (SOM)$), suy ra $OH \perp (SBC)$. $OM = \frac{1}{2} AB = 2\sqrt{2}$. $SC = 2\sqrt{6}$. $SM = \sqrt{SC^2 - MC^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{24-8} = 4$. $SO = \sqrt{SM^2 - OM^2} = \sqrt{16-8} = 2\sqrt{2}$. Trong $\triangle SOM$ vuông tại $O$, đường cao $OH$: $$ OH = \frac{SO \cdot OM}{SM} = \frac{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}}{4} = 2 $$ $$ d(AD, SC) = 2 \cdot OH = 2 \cdot 2 = 4 $$