Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 4. Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

a) Đúng. Vì O là tâm hình vuông ABCD $ ⇒SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $ b) Sai. Gọi M là trung điểm CD, H là hình chiếu của O trên SM. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} SO⊥CD \\ OM⊥CD \end{array} \right.⇒CD⊥\left ( { SMO } \right )⇒CD⊥OH⇒OH⊥\left ( { SCD } \right ) $ Lại có $ AB//CD⇒AB//\left ( { SCD } \right ) $ $ ⇒d\left ( { AB;SC } \right )=d\left ( { A;\left ( { SCD } \right ) } \right )=2d\left ( { O;\left ( { SCD } \right ) } \right )=2OH $ Theo bài ra, ta có $ d\left ( { AB;SC } \right )=2OH=4⇒OH=2 $ c) Đúng. Đặt $ AB=2x⇒OM=x $. Tam giác SMO vuông tại O, có $ \frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SO ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OM ^ { 2 } }⇒SO=\frac { 2x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } -4 } } $ d) Đúng. Thể tích khối chóp $ S.ABCD $ là $ V=\frac { 1 } { 3 }.SO.S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 2x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } -4 } }.4x ^ { 2 } =\frac { 8 } { 3 }.\frac { x ^ { 3 } } { \sqrt[] { x ^ { 2 } -4 } } $ Xét hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 3 } } { \sqrt[] { x ^ { 2 } -4 } } $ trên $ \left ( { 2;+\infty } \right ) $. Ta có $ f'\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 2 } \left ( { 2x ^ { 2 } -12 } \right ) } { \left ( { x ^ { 2 } -4 } \right )\sqrt[] { x ^ { 2 } -4 } } $, $ f'\left ( { x } \right )=0⇔x=\sqrt[] { 6 } $ và $ f' $ đổi dấu từ âm sang dương tại $ x=\sqrt[] { 6 } $, nên $ \min f\left ( { x } \right )=f\left ( { \sqrt[] { 6 } } \right )=6\sqrt[] { 3 } $ khi $ x=\sqrt[] { 6 } $ (hàm số không có giá trị lớn nhất vì $ f\left ( { x } \right )→+\infty $ khi $ x→+\infty $) Vậy thể tích nhỏ nhất cần tính là $ V_{ \min } =\frac { 8 } { 3 }.6\sqrt[] { 3 }=16\sqrt[] { 3 } $.