(Sở Bắc Ninh 2025) Đèn trang trí ở công viên có dạng hình chóp tứ giác đều. Cạnh bên có chiều dài $ 4m $, góc ở đỉnh của mặt bên bằng $ 15° $. Ban tổ chức muốn trang trí đèn Led một vòng quanh hình chóp từ vị trí $ A $ đến vị trí $ Q $ là trung điểm của $ SA $ (tham khảo hình vẽ). Biết chi phí để lắp $ 1m $ đèn Led có giá $ 200\,000 $đồng. Hỏi chi phí thấp nhất để lắp đèn Led bằng bao nhiêu nghìn đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Gọi $ l $ là độ dài sợi dây đèn Led. “Mổ” hình chóp dọc theo cạnh $ SA $ rồi trải ra mặt phẳng ta được hình như sau: Ta có: $ l=AM+MN+NP+PQ $ Khi đó, độ dài đèn Led ngắn nhất khi $ A,M,N,P,Q $ cùng nằm trên một đường thẳng. Xét $ ΔSAQ $ ta có: $ SA=4,\,SQ=2, \widehat { S }=60° $ $ ⇒l_{ \min } =AQ=\sqrt[] { 4 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } -2.4.2.\cos60° }=2\sqrt[] { 3 } $. Vậy chi phí thấp nhất để lắp đèn Led là $ 2\sqrt[] { 3 }.200\,000≈692\,820,32 $ đồng, tức khoảng $ 693 $ nghìn đồng.