(Liên trường THPT Ninh Bình 2025) Độ dốc của mái nhà (mặt sân, con đường thẳng,…) là tang của góc tạo bởi mái nhà (mặt sân, con đường thẳng,…) đó với mặt phẳng nằm ngang. Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều, biết rằng diện tích để lát tất cả các mặt của kim tự tháp (gồm cả mặt đáy) bằng $80500\,m^{2}$ và độ dốc của mặt bên kim tự tháp bằng $\frac{49}{45}$. Chiều cao của kim tự tháp là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Lời giải Gọi $x, y\,\text{(m)}$ lần lượt là độ dài đường cao và cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều. Gọi $E$ là trung điểm $CD$. Suy ra $\begin{cases} SE \perp CD \\ OE = \frac{1}{2}BC = \frac{y}{2} \end{cases}$. Xét $\triangle SOE$ vuông tại $O$, ta có: $$ SE = \sqrt{SO^{2} + OE^{2}} = \sqrt{x^{2} + \frac{y^{2}}{4}} $$ Theo đề bài: $$ \tan\alpha = \frac{x}{y/2} = \frac{49}{45} \Rightarrow \frac{2x}{y} = \frac{49}{45} \Rightarrow y = \frac{90x}{49} $$ Diện tích toàn phần: $$ S_{tp} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot SE \cdot CD + y^{2} = 2y\sqrt{x^{2} + \frac{y^{2}}{4}} + y^{2} = \sqrt{4x^{2}y^{2} + y^{4}} + y^{2} = 80500 $$ Thay $y = \frac{90x}{49}$ vào phương trình trên, ta giải tìm được $x \approx 98\,\text{m}$.