(Sở Khánh Hòa 2025) Một khối trang trí trong suốt có dạng khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $ 20 $cm. Khối chóp đó có phần rỗng bên trong chứa dung dịch màu. Biết rằng phần rỗng đó được tạo thành từ đỉnh, tâm của đáy và trọng tâm bốn mặt bên của khối chóp tứ giác đều ban đầu (như hình vẽ) Tính thể tích phần rỗng đó (kết quả được tính theo cm$ ^ { 3 } $ và làm tròn đến hàng đơn vị).

Gọi $ M,N,P,Q $ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ SAB,SAD,SDC,SBC $. Gọi $ E,F $ lần lượt là trung điểm của $ AB,AD $. Ta có $ MNPQ $ là hình vuông có cạnh bằng $ MN=\frac { 2 } { 3 }EF=\frac { 2 } { 3 }⋅\frac { 1 } { 2 }⋅AC=\frac { 1 } { 3 }⋅20\sqrt[] { 2 }=\frac { 20\sqrt[] { 2 } } { 3 } $. Xét tam giác vuông $ SOC $, có $ SO=\sqrt[] { SC ^ { 2 } -OC ^ { 2 } }=\sqrt[] { 20 ^ { 2 } -\left ( { 10\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=10\sqrt[] { 2 } $. Thể tích phần rỗng bằng $ V=\frac { 1 } { 3 }⋅S_{ MNPQ } ⋅SO=\frac { 1 } { 3 }⋅\left ( { \frac { 20\sqrt[] { 2 } } { 3 } } \right ) ^ { 2 } ⋅10\sqrt[] { 2 }=\frac { 8000\sqrt[] { 2 } } { 27 }≈419 $.