Cho hình chóp đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ 2a $, cạnh bên bằng $ 3a $. Khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SCD } \right ) $ bằng $ a\sqrt[] { \frac { b } { c } } $, với phân số $ \frac { b } { c } $ tối giản, $ b>0,\,\,c>0 $. Tính $ T=3c+2b $.

Gọi $ O $ là tâm của đáy, $ M $ là trung điểm của $ CD $, $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ O $ trên $ SM $. Khi đó $ d\left ( { O,\left ( { SCD } \right ) } \right )=OH $. $ d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right )=2d\left ( { O,\left ( { SCD } \right ) } \right )=2OH $. $ \frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OM ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SO ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OM ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SD ^ { 2 } -OD ^ { 2 } }=\frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 9a ^ { 2 } -2a ^ { 2 } }=\frac { 8 } { 7a ^ { 2 } }⇒OH=a\sqrt[] { \frac { 7 } { 8 } } $ $ ⇒d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right )=2OH=a\sqrt[] { \frac { 7 } { 2 } }⇒\left \{ \begin{array}{l} b=7 \\ c=2 \end{array} \right.⇒T=3c+2b=20 $.