Bài tự luận · Bài 4
Bài tự luận Ôn tập Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân 11 · Bài 4
Bác Hưng quyết định tham gia một chương trình bơi lội để duy trì sức khoẻ. Bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó.
a) Tìm công thức truy hồi cho số phút $ T_{ n } $ mà bác ấy bơi vào ngày thứ $ n $ của chương trình.
b) Tìm sáu số hạng đầu của dãy số $ T_{ n } $.
c) Tìm công thức tổng quát của dãy số $ \left ( { T_{ n } } \right ) $.
d) Bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ bao nhiêu của chương trình?
e) Tính tổng thời gian bác Hưng bơi sau 30 ngày đầu của chương trình.
a) Tìm công thức truy hồi cho số phút $ T_{ n } $ mà bác ấy bơi vào ngày thứ $ n $ của chương trình.
b) Tìm sáu số hạng đầu của dãy số $ T_{ n } $.
c) Tìm công thức tổng quát của dãy số $ \left ( { T_{ n } } \right ) $.
d) Bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ bao nhiêu của chương trình?
e) Tính tổng thời gian bác Hưng bơi sau 30 ngày đầu của chương trình.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ T_{ n } $ là số phút mà bác Hưng bơi vào ngày thứ $ n $ của chương trình.
a) Do bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó nên ta có hệ thức truy hồi sau $ T_{ 1 } =10,T_{ n+1 } =T_{ n } +2\forall n\geq 1 $.
b) Sáu số hạng đầu của dãy số là
$ T_{ 1 } =10;T_{ 2 } =12;T_{ 3 } =14;T_{ 4 } =16;T_{ 5 } =18;T_{ 6 } =20. $
c) Theo định nghĩa dãy số $ T_{ n } $ là cấp số cộng có $ T_{ 1 } =10 $ và công sai $ d=2 $.
Suy ra, công thức tổng quát của dãy số là $ T_{ n } =T_{ 1 } +(n-1)d=8+2n\quad \forall n\geq 1 $.
d) Ta có $ T_{ n } \geq 60\Leftrightarrow 8+2n\geq 60\Leftrightarrow n\geq 26 $.
Vậy bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ 26 của chương trình.
e) Tổng thời gian bác Hưng bơi trong 30 ngày đầu của chương trình là
$ S_{ 30 } =\frac { \left[ 2T_{ 1 } +(30-1)d \right]30 } { 2 }=1170(phút). $
a) Do bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó nên ta có hệ thức truy hồi sau $ T_{ 1 } =10,T_{ n+1 } =T_{ n } +2\forall n\geq 1 $.
b) Sáu số hạng đầu của dãy số là
$ T_{ 1 } =10;T_{ 2 } =12;T_{ 3 } =14;T_{ 4 } =16;T_{ 5 } =18;T_{ 6 } =20. $
c) Theo định nghĩa dãy số $ T_{ n } $ là cấp số cộng có $ T_{ 1 } =10 $ và công sai $ d=2 $.
Suy ra, công thức tổng quát của dãy số là $ T_{ n } =T_{ 1 } +(n-1)d=8+2n\quad \forall n\geq 1 $.
d) Ta có $ T_{ n } \geq 60\Leftrightarrow 8+2n\geq 60\Leftrightarrow n\geq 26 $.
Vậy bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ 26 của chương trình.
e) Tổng thời gian bác Hưng bơi trong 30 ngày đầu của chương trình là
$ S_{ 30 } =\frac { \left[ 2T_{ 1 } +(30-1)d \right]30 } { 2 }=1170(phút). $