(THPT Hà Trung - Thanh Hóa 2025) Trong hệ trục tọa độ $ Oxyz $ cho 3 điểm $ A\left ( { 5\,;\, -2;0 } \right )\,,\,B\left ( { 4\,;\,5;-2 } \right ) $ và $ C\left ( { 0\,;\,3;2 } \right ) $. Điểm $ M $ di chuyển trên trục $ Ox $ và điểm $ N $ thỏa mãn đẳng thức $ \overset\rightarrow { NA }+\overset\rightarrow { NB }+2\overset\rightarrow { NC }=\overset\rightarrow { 0 } $

a) Đúng Gọi $N(a;b;c)$. $\overset\rightarrow { NA }=\left ( { 5-a;-2-b;-c } \right )$, $\overset\rightarrow { NB }=\left ( { 4-a;5-b;-2-c } \right )$, $\overset\rightarrow { NC }=\left ( { -a;3-b;2-c } \right )\Rightarrow 2\overset\rightarrow { NC }=\left ( { -2a;6-2b;4-2c } \right )$. Ta có $\overset\rightarrow { NA }+\overset\rightarrow { NB }+2\overset\rightarrow { NC }=\left ( { 9-4a;9-4b;2-4c } \right )=\overset\rightarrow { 0 }\Rightarrow a=b=\frac { 9 } { 4 };c=\frac { 1 } { 2 }$. Vậy $N\left ( { \frac { 9 } { 4 };\frac { 9 } { 4 };\frac { 1 } { 2 } } \right )$, hoành độ và tung độ của $N$ đều bằng $\frac { 9 } { 4 }$ nên bằng nhau. b) Sai $\overset\rightarrow { AB }=\left ( { -1;7;-2 } \right )$, khác với $\left ( { 1;-7;2 } \right )$. c) Sai Gọi $M(m;0;0)\in Ox$. Với $G(3;2;0)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $I(2;4;0)$ là trung điểm $BC$, ta có: $Q=2\left | { \overset\rightarrow { MA }+\overset\rightarrow { MB }+\overset\rightarrow { MC } } \right |+3\left | { \overset\rightarrow { MB }+\overset\rightarrow { MC } } \right |=2\left | { 3\overset\rightarrow { MG } } \right |+3\left | { 2\overset\rightarrow { MI } } \right |=6(MG+MI)$ $=6\left ( { \sqrt[] { (3-m) ^ { 2 } +2 ^ { 2 } }+\sqrt[] { (m-2) ^ { 2 } +4 ^ { 2 } } } \right )\geq 6\sqrt[] { (3-m+m-2) ^ { 2 } +(2+4) ^ { 2 } }=6\sqrt[] { 37 }$ (dấu bằng xảy ra khi $m=\frac { 8 } { 3 }$), khác với $6\sqrt[] { 35 }$. d) Đúng Trọng tâm tam giác $ABC$ là $G\left ( { \frac { 5+4+0 } { 3 };\frac { -2+5+3 } { 3 };\frac { 0-2+2 } { 3 } } \right )=G(3;2;0)$.