Trong không gian $ Oxyz $, cho tam giác $ ABC $ có điểm $ A\left ( { 1\,;\,2\,;\,3 } \right ) $, $ B\left ( { 2;\,-1;\,3 } \right ) $ và $ C\left ( { -1\,;\,1;\,1 } \right ) $. Biết rằng toạ độ của chân đường cao hạ từ $ A $ xuống $ BC $ là $ H\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right ) $, giá trị của $ P=17\left ( { a+b+c } \right ) $ bằng

Ta có $ \overset\rightarrow { AH }=\left ( { a-1\,;\,b-2\,;\,c-3 } \right ) $, $ \overset\rightarrow { BC }=\left ( { -3\,;\,2\,;\,-2 } \right ) $, $ \overset\rightarrow { BH }=\left ( { a-2\,;\,b+1\,;\,c-3 } \right ) $ Vì $ H $ là chân đường cao hạ từ $ A $ xuống $ BC $ nên ta có $ AH⊥BC $ và $ B,\,H,\,C $ thẳng hàng. Từ đây suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { AH }.\overset\rightarrow { BC }=0 \\ \overset\rightarrow { BH }=k\overset\rightarrow { BC } \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} -3\left ( { a-1 } \right )+2\left ( { b-2 } \right )-2\left ( { c-3 } \right )=0 \\ a-2=-3k \\ b+1=2k \\ c-3=-2k \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 7 } { 17 } \\ b=\frac { 1 } { 17 } \\ c=\frac { 33 } { 17 } \\ k=\frac { 9 } { 17 } \end{array} \right. $ Do đó $ P=17\left ( { a+b+c } \right )=41 $.