(THPT Hương Hóa - Quảng Trị 2025) Xét Trái Đất trong không gian $Oxyz$, với $O$ là tâm Trái Đất, tia $Ox$ chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia $Oz$ chứa điểm cực bắc $N$, tia $Oy$ giao xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, một đơn vị dài trong không gian $Oxyz$ tương ứng với $6\,371\text{ km}$ trong thực tế. Biết rằng nếu điểm $M$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $\alpha^\circ\text{N}; \beta^\circ\text{E}$ $\Big(0 < \alpha < 90, 0 < \beta < 180\Big)$ thì điểm $M$ có tọa độ là $M(\cos\alpha^\circ\cos\beta^\circ; \cos\alpha^\circ\sin\beta^\circ; \sin\alpha^\circ)$. Tính khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất là cầu Hiền Lương (cũ) (Quảng Trị) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $17,0045^\circ\text{N}; 107,0517^\circ\text{E}$ và Dinh Độc Lập (TP Hồ Chí Minh) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $10,777^\circ\text{N}; 106,695^\circ\text{E}$ (đơn vị: km, làm tròn kết quả đến hàng chục).

Lời giải Vì điểm $M$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $\alpha^\circ\text{N}; \beta^\circ\text{E}$ $\Big(0 < \alpha < 90, 0 < \beta < 180\Big)$ thì có tọa độ là $M(\cos\alpha^\circ\cos\beta^\circ; \cos\alpha^\circ\sin\beta^\circ; \sin\alpha^\circ)$ nên ta có tọa độ trong không gian $Oxyz$ của: - Cầu Hiền Lương (cũ) (Quảng Trị) (gọi là điểm $A$) là $A(\cos17,0045^\circ\cos107,0517^\circ; \cos17,0045^\circ\sin107,0517^\circ; \sin17,0045^\circ)$, suy ra $\overset{\rightarrow}{OA} = (\cos17,0045^\circ\cos107,0517^\circ; \cos17,0045^\circ\sin107,0517^\circ; \sin17,0045^\circ)$. - Dinh Độc Lập (TP Hồ Chí Minh) (gọi là điểm $B$) là $B(\cos10,777^\circ\cos106,695^\circ; \cos10,777^\circ\sin106,695^\circ; \sin10,777^\circ)$, suy ra $\overset{\rightarrow}{OB} = (\cos10,777^\circ\cos106,695^\circ; \cos10,777^\circ\sin106,695^\circ; \sin10,777^\circ)$. Vì $A, B$ thuộc mặt đất nên $|\overset{\rightarrow}{OA}| = |\overset{\rightarrow}{OB}| = 1$, nên $\cos\widehat{AOB} = \overset{\rightarrow}{OA} \cdot \overset{\rightarrow}{OB}$, hay $\widehat{AOB} = \arccos\Big(\overset{\rightarrow}{OA} \cdot \overset{\rightarrow}{OB}\Big)$. Mặt khác đường tròn đi qua $A, B$ có bán kính 1 và chu vi $2\pi$ nên cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$ của đường tròn có độ dài xấp xỉ bằng $\dfrac{\arccos\Big(\overset{\rightarrow}{OA} \cdot \overset{\rightarrow}{OB}\Big)}{360} \cdot 2\pi$. Do một đơn vị dài trong không gian $Oxyz$ tương ứng với $6\,371$ km trong thực tế nên khoảng cách giữa hai điểm $A, B$ là $\dfrac{\arccos\Big(\overset{\rightarrow}{OA} \cdot \overset{\rightarrow}{OB}\Big)}{360} \cdot 2\pi \cdot 6371 \approx 690$ (km).