Đúng/Sai · Câu 7
Cho hình chóp $ S.ABC $ có cạnh bên $ SA $ vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ B $. Biết $ SB=a\sqrt[] { 3 },AB=a $. Khi đó:
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Đúng
- c. Đúng
- d. Sai
Lời giải
a) Sai. Ta có: $ AC $không vuông góc với $ AB $ nên $ AC $không thể vuông góc với mặt phẳng $ (SAB) $
b) Đúng. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥SA \\ BC⊥AB \end{array} \right.⇒BC⊥(SAB) $
c) Đúng. $ SA⊥(ABC) $ nên $ AB $ là hình chiếu của $ SB $ trên mặt phẳng $ (ABC) $.
Suy ra $ (SB,(ABC))=(SB,AB)= \widehat { SBA } $.
Tam giác $ SAB $ vuông tại $ A $ có: $ SA=\sqrt[] { SB ^ { 2 } -AB ^ { 2 } }=\sqrt[] { 3a ^ { 2 } -a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 2 }{ \rm{ . } } $
Tam giác $ SAB $ vuông tại $ A $ có: $ \tan \widehat { SBA }=\frac { SA } { AB }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { a }=\sqrt[] { 2 } $
d) Sai. Gọi $ H $ là trung điểm $ AC $ thì $ BH⊥AC $ (do tam giác $ ABC $ cân tại $ B $). (1)
Ta lại có $ SA⊥(ABC)⇒BH⊥SA $. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $ BH⊥(SAC) $ hay $ SH $ là hình chiếu của $ SB $ trên mặt phẳng $ (SAC) $.
Vậy $ (SB,(SAC))=(SB,SH)= \widehat { BSH } $.
Ta có: $ BH=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $, suy ra $ \sin \widehat { BSH }=\frac { BH } { SB }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } { a\sqrt[] { 3 } }=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 6 } $.