Trong hoạt động quay phim và chụp ảnh chuyên nghiệp, tấm hắt sáng là một công cụ không thể thiếu. Một ê-kíp nhận dự án chụp hình cho một căn hộ phục vụ cho mục đích quảng quảng. Tấm hắt sáng được đặt trên một bề mặt gỗ mỏng hình tam giác, mỗi đỉnh của mặt gỗ đặt trên một chiếc cọc lần lượt cao 2m, 1m và 0,5m. Cọc cao nhất đặt ở góc tường, cọc cao 1m sẽ đặt ở tường sau nhà, cách tường trái 2m, cọc còn lại đặt ở tường bên trái, cách tường sau 1m. Để đảm bảo sự chắc chắn, người ta chống một chiếc cọc vuông góc mặt đất và đỡ phía dưới mặt gỗ, cách mỗi bức tường 0,5m (chân cọc chống đỡ ở mặt đất). Hỏi chiếc cọc chống đỡ này có chiều dài bao nhiêu mét?

Gắn hệ tọa độ $ Oxyz $ vào phía góc tường, điểm $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $ trùng với góc tường, trục cao $ Oz $ trùng với cọc cao nhất và hai trục $ Ox $, $ Oy $ lần lượt là hai đường chân tường. Mỗi đơn vị ứng với 1 mét thực tế. Đỉnh của các cọc có chiều cao giảm dần lần lượt là các điểm $ A,C,B $. Chiếc cọc chống đặt tại điểm $ E $ và điểm tiếp xúc giữa mặt gỗ và cọc chống là điểm $ H $. Theo đề bài, ta được các điểm: $ A\left ( { 0;0;2 } \right ) $; $ C\left ( { 2;0;1 } \right ) $; $ B\left ( { 0;1;\frac { 1 } { 2 } } \right ) $; $ E\left ( { \frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 };0 } \right ) $. Khi đó chiều dài cọc chống chính là độ dài đoạn thẳng $ HE $ và $ H $ là điểm thỏa mãn nằm trên $ mp\left ( { ABC } \right ) $ sao cho $ \overset\rightarrow { EH } $ cùng phương với $ \overset\rightarrow { OA } $. Ta có: $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 0;1;-\frac { 3 } { 2 } } \right );\overset\rightarrow { AC }=\left ( { 2;0;-1 } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ nhận $ \overset\rightarrow { n }=\left[ \overset\rightarrow { AB };\overset\rightarrow { AC } \right] $ là vectơ pháp tuyến. Có $ \overset\rightarrow { n }=\left[ \overset\rightarrow { AB };\overset\rightarrow { AC } \right]=\left ( { -1;-3;-2 } \right ) $. Khi đó mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ có phương trình: $ -1\left ( { x-0 } \right )-3\left ( { y-0 } \right )-2\left ( { z-2 } \right )=0⇔\left ( { ABC } \right ):x+3y+2z-4=0 $. Gọi $ H\left ( { x;y;z } \right )⇒\overset\rightarrow { EH }=\left ( { x-\frac { 1 } { 2 };y-\frac { 1 } { 2 };z } \right ) $ Có $ \overset\rightarrow { OA }=\left ( { 0;0;2 } \right ) $. Mà $ \overset\rightarrow { EH } $ cùng phương với $ \overset\rightarrow { OA }⇒\overset\rightarrow { EH }=k\overset\rightarrow { OA } $. $ \overset\rightarrow { EH }=\left ( { 0;0;2k } \right )⇒\left \{ \begin{array}{l} x-\frac { 1 } { 2 }=0 \\ y-\frac { 1 } { 2 }=0 \\ z=2k \end{array} \right.⇒\left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 1 } { 2 } \\ y=\frac { 1 } { 2 } \\ z=2k \end{array} \right.⇒H\left ( { \frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 };2k } \right ) $. Lại có $ H\in \left ( { ABC } \right )⇒\frac { 1 } { 2 }+3.\frac { 1 } { 2 }+2.2k-4=0⇒k=\frac { 1 } { 2 }⇒H\left ( { \frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 };1 } \right ) $. Khi đó $ \overset\rightarrow { EH }=\left ( { 0;0;1 } \right )⇒EH=1 $. Như vậy chiều dài cọc chống đỡ này là 1 mét.