Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Côsin góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\Big(BCD\Big)$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Lời giải Gọi $O$ là trọng tâm của tam giác đều $BCD$, $P$ là trung điểm đoạn thẳng $BO$. Vì $ABCD$ là tứ diện đều, nên $AO \perp \Big(BCD\Big)$. Suy ra $MP \perp \Big(BCD\Big)$ (vì $MP$ là đường trung bình của tam giác $ABO$). Nên $PN$ là hình chiếu của $MN$ lên mặt phẳng $\Big(BCD\Big)$. Suy ra, góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\Big(BCD\Big)$ là $\widehat{MNP}$. Đặt $AB = a$, khi đó: $BN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $BO = \frac{2}{3}BN = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Trong tam giác $ABO$ vuông tại $O$, ta có: $AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{a^2 - \Big(\frac{a\sqrt{3}}{3}\Big)^2} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. $$ MP = \frac{1}{2}AO = \frac{a\sqrt{6}}{6} $$ $$ PN = \frac{2}{3}BN = \frac{a\sqrt{3}}{3} $$ Trong tam giác $MNP$ vuông tại $P$, ta có: $$ \cos\widehat{MNP} = \frac{PN}{MN} = \frac{PN}{\sqrt{MP^2 + PN^2}} = \frac{a\sqrt{3}}{3} : \sqrt{\Big(\frac{a\sqrt{6}}{6}\Big)^2 + \Big(\frac{a\sqrt{3}}{3}\Big)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow \cos\widehat{MNP} \approx 0,82 $$