Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ tâm $O$ có cạnh đáy bằng $a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$. Biết rằng góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\Big(ABCD\Big)$ bằng $60^\circ$, côsin góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\Big(SBD\Big)$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Lời giải Gọi $P$ là trung điểm của $OA$, suy ra $PN$ là hình chiếu của $MN$ lên mặt phẳng $\Big(ABCD\Big)$ (vì $MP$ song song với $SO$ và $SO \perp \Big(ABCD\Big)$). Suy ra, góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\Big(ABCD\Big)$ là $\widehat{MNP} \Rightarrow \widehat{MNP} = 60^\circ$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $SO$, $BO$. Ta có $ME \parallel OA, ME = \frac{1}{2}OA$ và $NF \parallel OC, NF = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{2}OA$ nên tứ giác $MENF$ là hình bình hành. Suy ra $EF$ là hình chiếu của $MN$ lên mặt phẳng $\Big(SBD\Big)$. Gọi $I = MN \cap EF$, suy ra góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\Big(SBD\Big)$ là $\widehat{NIF}$. Trong tam giác $CNP$, áp dụng định lý côsin ta có: $$ NP^2 = CP^2 + CN^2 - 2 \cdot CP \cdot CN \cdot \cos 45^\circ = \Big(\frac{3a\sqrt{2}}{4}\Big)^2 + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5a^2}{8} $$ (vì $CP = \frac{3}{4}AC = \frac{3}{4}\sqrt{AB^2 + BC^2} = \frac{3}{4}a\sqrt{2}$ và $CN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a$). Suy ra: $NP = \frac{a\sqrt{10}}{4}$. Trong tam giác $MNP$ vuông tại $P$ ta có: $MP = NP \cdot \tan 60^\circ = \frac{a\sqrt{30}}{4}$. Vì $MP$ là đường trung bình của tam giác $SAO$ nên $SO = 2 \cdot MP = 2 \cdot \frac{a\sqrt{30}}{4} = \frac{a\sqrt{30}}{2}$. Trong tam giác $SOB$ vuông tại $O$ ta có: $$ SB = \sqrt{SO^2 + OB^2} = \sqrt{\frac{15a^2}{2} + \frac{a^2}{2}} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2} $$ Mà $EF$ là đường trung bình của tam giác $SBO$ nên $EF = \frac{1}{2}SB = a\sqrt{2}$. Suy ra $IF = \frac{1}{2}EF = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Trong tam giác $INF$ vuông tại $F$, ta có: $$ \cos\widehat{NIF} = \frac{IF}{IN} = \frac{IF}{\sqrt{IF^2 + NF^2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{a\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \Rightarrow \cos\widehat{NIF} \approx 0,89 $$