Cho khối chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có tất cả các cạnh bằng $ a $. Gọi $ φ $ là góc giữa đường thẳng $ SA $ và mặt phẳng $ \left ( { SCD } \right ) $. Biết $ \sinφ=\sqrt[] { \frac { m } { n } } $, với $ \frac { m } { n } $ là phân số tối giản. Tính tổng $ T=m+n $.

Dựng $ OK⊥CD,OH⊥SK $suy ra $ OH⊥(SCD) $. Ta tính được $ OK=\frac { a } { 2 },SO=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 }⇒OH=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 6 } $. Khi đó $ d\left ( { A;\left ( { SCD } \right ) } \right )=2d\left ( { O,\left ( { SCD } \right ) } \right )=2OH=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $. $ \sin\,\left ( { SA;\left ( { SCD } \right ) } \right )=\frac { d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right ) } { SA }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } } { a }=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 3 }=\sqrt[] { \frac { 2 } { 3 } } $. Vậy $ T=m+n=2+3=5 $.