Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh bằng $2$. Tính độ dài của vectơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $C$. Khi đó: $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM}$ và $2\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$. Ta có: $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AE}$ (với $E$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $AMED$). Vì $\triangle ABC$ đều nên $\widehat{BAC} = 60^\circ$. Do $A, C, D$ thẳng hàng nên $\widehat{MAD} = 60^\circ$. Vì $AMED$ là hình bình hành nên $\widehat{AME} + \widehat{MAD} = 180^\circ \implies \widehat{AME} = 120^\circ$. Áp dụng định lý côsin trong tam giác $AME$ với $AM = 1$ và $ME = AD = 2AC = 4$, ta có: $AE^2 = AM^2 + ME^2 - 2AM \cdot ME \cdot \cos\widehat{AME}$ $AE^2 = 1^2 + 4^2 - 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 1 + 16 - 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 21$ Suy ra $AE = \sqrt{21}$. Vậy $\left| \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} \right| = \sqrt{21} \approx 4{,}58$.