Cho hình hộp $ ABCD⋅A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } D ^ { ′ } $ có tất cả các cạnh bằng 1, các góc $ \widehat { BAD }= \widehat { A ^ { ′ } AB }= \widehat { A ^ { ′ } AD }=60 ^ { ° } $. Gọi $ P $ và $ Q $ là các điểm xác định bởi $ \overset\rightarrow { AP }=\overset\rightarrow { D ^ { ′ } A },\overset\rightarrow { C ^ { ′ } Q }=\overset\rightarrow { DC ^ { ′ } } $. Tính độ dài đoạn thẳng $ PQ $ (làm tròn đến một chữ số thập phân).

Ta có: $ \overset\rightarrow { AP }=\overset\rightarrow { D ^ { ′ } A }=-\overset\rightarrow { AD ^ { ′ } }=-\left ( { \overset\rightarrow { AD }+\overset\rightarrow { AA ^ { ′ } } } \right ) $ và $ \overset\rightarrow { AQ }=\overset\rightarrow { AC ^ { ′ } }+\overset\rightarrow { C ^ { ′ } Q }=\overset\rightarrow { AC ^ { ′ } }+\overset\rightarrow { DC ^ { ′ } }=2\left ( { \overset\rightarrow { AA ^ { ′ } }+\overset\rightarrow { AB } } \right )+\overset\rightarrow { AD } $ Do đó $ \overset\rightarrow { PQ }=\overset\rightarrow { AQ }-\overset\rightarrow { AP }=\overset\rightarrow { AD }+2\left ( { \overset\rightarrow { AA ^ { ′ } }+\overset\rightarrow { AB } } \right )+\overset\rightarrow { AD }+\overset\rightarrow { AA ^ { ′ } }=2\overset\rightarrow { AB }+2\overset\rightarrow { AD }+3\overset\rightarrow { AA ^ { ′ } } $ Đặt $ \overset\rightarrow { AB }=\overset\rightarrow { a } ;\overset\rightarrow { AD }=\overset\rightarrow { b } ;\overset\rightarrow { AA ^ { ′ } }=\overset\rightarrow { c } $ thì $ \|a\|=\|b\|=\|c\|=1,(a;b)=(b;c)=(c;a)=60 ^ { ° } $ Khi đó $ PQ ^ { 2 } =4\|a\| ^ { 2 } +4\|b\| ^ { 2 } +9\|c\| ^ { 2 } +8a⋅b+12\overset\rightarrow { a }⋅\overset\rightarrow { c }+12b⋅c $ $ =4+4+9+4+6+6=33⇒PQ=\sqrt[] { 33 }≈5,7 $