Cho tứ diện đều $ O⋅ABC $ có cạnh bằng 3. Trên đoạn $ OA $ lấy điểm $ M $ sao cho $ \overset\rightarrow { MO }=-2\overset\rightarrow { MA } $ và trên đoạn $ BC $ lấy điểm $ N $ sao cho $ \overset\rightarrow { NB }=-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { NC } $. Tính độ dài vectơ $ \overset\rightarrow { MN } $ (làm tròn đến một chữ số thập phân)

Đặt $ \overset\rightarrow { OA }=\overset\rightarrow { a } ,\overset\rightarrow { OB }=\overset\rightarrow { b } ,\overset\rightarrow { OC }=\overset\rightarrow { c } $ thì $ \|a\|=\|b\|=\|c\|=1 $ và $ (a;b)=(b;c)=(c;a)=60 ^ { ° } $. Ta có: $ \overset\rightarrow { MO }=-2\overset\rightarrow { MA }⇒\overset\rightarrow { OM }=\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { OA }=\frac { 2 } { 3 }a $ và $ \overset\rightarrow { NB }=-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { NC }⇒\overset\rightarrow { ON }=\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { OB }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { OC }=\frac { 2 } { 3 }b+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { c } $ $ ⇒\overset\rightarrow { MN }=\overset\rightarrow { ON }-\overset\rightarrow { OM }=\frac { -2 } { 3 }a+\frac { 2 } { 3 }b+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { c }⇒MN ^ { 2 } =\frac { 4 } { 9 }\|a\| ^ { 2 } +\frac { 4 } { 9 }\|b\| ^ { 2 } +\frac { 1 } { 9 }\|c\| ^ { 2 } -\frac { 8 } { 9 }a⋅b-\frac { 4 } { 9 }a⋅c+\frac { 4 } { 9 }b⋅\overset\rightarrow { c } $ $ ⇒MN ^ { 2 } =4+4+1-\frac { 8 } { 9 }⋅3⋅3⋅\frac { 1 } { 2 }-\frac { 4 } { 9 }⋅3⋅3⋅\frac { 1 } { 2 }+\frac { 4 } { 9 }⋅3⋅3⋅\frac { 1 } { 2 }=5⇒MN=\sqrt[] { 5 }≈2,2 $.