Cho tứ diện $ ABCD $ có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ AB $ và $ N $ thuộc cạnh $ CD $ thoả mãn $ ND=2NC $. Tính độ dài đoạn thẳng $ MN $ (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Đặt $ \overset\rightarrow { AB }=\overset\rightarrow { a } ,\overset\rightarrow { AC }=\overset\rightarrow { b } ,\overset\rightarrow { AD }=\overset\rightarrow { c } $. Ta có: $ \overset\rightarrow { MN }=\overset\rightarrow { AN }-\overset\rightarrow { AM }=\overset\rightarrow { AC }+\overset\rightarrow { CN }-\frac { 1 } { 2 }a=b-\frac { 1 } { 2 }a+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { CD } $ $ =b-\frac { 1 } { 2 }a+\frac { 1 } { 3 }(\overset\rightarrow { AD }-\overset\rightarrow { AC })=-\frac { 1 } { 2 }a+\frac { 2 } { 3 }b+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { c } $ Do đó $ MN ^ { 2 } =\frac { 1 } { 4 }\|a\| ^ { 2 } +\frac { 4 } { 9 }\|b\| ^ { 2 } +\frac { 1 } { 9 }\|c\| ^ { 2 } -\frac { 2 } { 3 }a⋅b-\frac { 1 } { 3 }a⋅\overset\rightarrow { c }+\frac { 4 } { 9 }b⋅\overset\rightarrow { c } $ $ =\frac { 1 } { 4 }+\frac { 4 } { 9 }+\frac { 1 } { 9 }-\frac { 2 } { 3 }⋅\frac { 1 } { 2 }-\frac { 1 } { 3 }⋅\frac { 1 } { 2 }+\frac { 4 } { 9 }⋅\frac { 1 } { 2 }=\frac { 19 } { 36 }⇒MN=\frac { \sqrt[] { 19 } } { 6 }≈0,73. $